Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 25
3.2 Versuch
Vorgegeben ist eine Funktion f : x ↦→ f(x), sie sei in einer Umgebung von x0 definiert.
Wenn ein δ > 0 existiert, so dass
für alle x1 ∈ Uδ(x0) ∩ ] − ∞, x0[
und alle x2 ∈ Uδ(x0) ∩ ]x0, +∞[
gilt, . . . . . . ,
so sagt man:
f(x1) < 0 < f(x2) f hat in x0 einen (echten)
Vorzeichenwechsel (vom Negativen
ins Positive).
f(x1) < f(x0) < f(x2) f ist in x0 streng monoton steigend.
f(x1) < f(x0) > f(x2) f hat in x0 ein (isoliertes, lokales)
Maximum.
f(x0)−f(x1)
x0−x1
f(x2)−f(x0)
< x2−x0
Wenn ein δ > 0 existiert, so dass
für alle x1, x2, x3, x4 ∈ Uδ(x0)
mit x1 < x2 < x0 < x3 < x4 gilt,
f(x2)−f(x1)
x2−x1
f(x3)−f(x2)
< x3−x2
f(x4)−f(x3)
> x4−x3
f ist in x0 (echt) linksgekrümmt.
so sagt man:
f hat in x0 einen Wendepunkt
(von ,,Links”) nach ,,Rechts”.
• Die Definitionen der Tabelle bilden ein ,,in sich geschlossenes (konsistentes) System”.
• Beachte, dass alle diese Eigenschaften einer Stelle x0 zugeordnet sind, aber vom
lokalen (in einer beliebig kleinen Umgebung) Verhalten von f bestimmt werden. In
keiner der Definitionen wird in irgendeiner Weise der Begriff der Ableitung eingesetzt.
Damit werden die Kriterien zur Kurvendiskussion zu echten Sätzen.
• In fast allen Schulbüchern werden das Krümmungs- und Wendeverhalten einer Funktion
über das Steigungs- bzw. ExtremwertVerhalten der Tangente definiert. Die
Nachteile dieses Vorgehens sind, dass die zugehörigen Kriterien keine Sätze sind,
sondern lediglich Umformulierungen der bereits vorhandenen Sätze über Extremwerte
und Steigungsverhalten. Außerdem muss in der Definition die Differenzierbarkeit
vorausgesetzt werden, was ,,unnatürlich” ist.
• Ein Nachteil des oben beschriebenen Systems ist, dass die Definitionen vergleichsweise
komplex anmuten und die Kriterien zum Teil noch schwerer beweisbar sind.
Die Kriterien werden aber im Unterricht sowieso kaum bewiesen.
Weitere Begriffe:
• Nullstelle, Wendepunkt, Waagerechte Tangente, Terrassenpunkt.