Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 22 Folgerung 3 (Abschätzungssatz) Es sei A ein Intervall und f sei eine differenzierbare Funktionen mit Definitionsbereich A. Gibt es zwei Konstanten c, C ∈ R, so dass so folgt c < f ′ (x) < C für alle x ∈ A, c(b − a) < f(b) − f(a) < C(b − a) für a, b ∈ A, a < b. Betrachte zum Beweis die Funktionen c · (x − a) bzw. C · (x − a). Der Abschätzungssatz steht in engem Zusammenhang mit dem Mittelwertsatz. Anstelle der strengen Ungleichungen kann man auch nicht–strenge Ungleichungen betrachten.
S. Hilger, Didaktik der Analysis 23 3 Kurvendiskussion 3.1 Vorbemerkung In der Kurvendiskussion entfaltet sich erst — exemplarisch — die Kraft der Infinitesimalrechnung. Aufgrund dieser Tatsache bleibt ein Eindruck von ihr den Gymnasial–Absolventen lange im Gedächtnis. Man begegnet in der (Schul–)Kurvendiskussion einem umfangreichen und verwirrenden Geflecht an • Definitionen, Begriffen: Siehe Blatt! • Begriffen des mathematischen Gehalts: Gesetz, Satz, Kriterium, (notwendige oder hinreichende) Bedingung, Folgerung, Hauptsatz. (Math: Hilfssatz, Lemma, Präposition, Theorem, Korollar). • Voraussetzungen hinsichtlich – der Eigenschaften von Definitionsbereichen: Offen, Intervalle, abgeschlossen, beschränkt. – Glattheit: Stetigkeit, ein/mehrmalige Differenzierbarkeit, Stetig–Differenzierbarkeit, – Ungleichungen: Streng – Nicht streng. • Zuordnung von besonderen Eigenschaften: Punktal — lokal — global. • Beweisbedürftigkeit: Anschauung — Plausibilität — Begründung — Beweisidee — Beweis mit mathematisch–substantiellem Ductus — Penibel–strenger Beweis. Insgesamt beobachtet man die Tendenz, dass die Analysis–Ideen von Rechenkalkül zugedeckt werden. Dadurch werden die eigentlichen Inhalte verdeckt. Es entsteht der Eindruck einer übertriebenen Erbsenzählerei und Pedanterie. Dabei wird nicht klar, ob dieser Anspruch auf Genauigkeit einen mathematisch–substantiellen Grund hat oder nur einer Art übertriebenen Buchhalterei entspringt. Zudem ist die Anschauung, die ja erst den Zugang zu einer Grundeinsicht in die Kurvendiskussion ermöglicht, gelegentlich irreführend. Diese Beobachtungen sollen hier nicht bewertet werden. Ziele in diesem Zusammenhang sollten sein: • Die Inhalte mathematisch auf den Punkt zu bringen, • lebendige Fertigkeiten zu erwerben,
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