Didaktik der Analysis

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S. Hilger, Didaktik der Analysis 34 4.2.4 Vielfältige Begriffe und Zugänge zum Integralbegriff • Riemann–Darboux–Integral (Gaston Darboux, 1842 – 1917): Einführung über Ober-/Untersummen (Idee der Fläche). • Riemann–Darboux–Integral (Bernhard Riemann, 1826 – 1866): Zugang über Riemann–Summen (Idee der infinitesimalen Summe, Mittelwertbildung). • Cauchy–Integral: Es wird zunächst für Treppenfunktionen definiert. Dann geht man zu ,,Grenzwerten von Treppenfunktionen” über: Das sind dann die Regel– (oder: einfache) Funktionen. • Lebesgue–Integral: Zugang über abstraktere Maß- und Integrationstheorie. Das ist der Integral–Begriff der Fachmathematik schlechthin, er wird in über 95% der Fachmathematik angewandt. Zur Bewertung dieser verschiedenen Integralbegriffe schreibt Jean Dieudonné: Schließlich wird dem Leser vermutlich auffallen, dass auf das Riemann– Integral, diesen ehrwürdigen Gegenstand von Analysisvorlesungen, überhaupt nicht eingegangen wird. Man darf wohl annehmen, dass dieser Begriff, wäre er nicht mit einem so klangvollen Namen verknüpft, schon viel früher übergangen worden wäre; denn bei allem schuldigen Respekt vor dem Genius Bernhard Riemanns ist sich jeder aktive Mathematiker völlig darüber im klaren, dass dies ,,Theorie” heutzutage in der allgemeinen Maß- und Integrationstheorie bestenfalls die Bedeutung einer halbwegs interessanten Übungsaufgabe besitzt. Nur der sture Konservatismus akademischer Tradition konnte das Riemannsche Integral als vollwertigen Bestandteil der Analysisvorlesung erhalten, lange nachdem es seine historische Bedeutung überlebt hatte. Natürlich ist es durchaus möglich, den Integrationsprozeß auf eine Kategorie von Funktionen zu beschränken, die für alle Zwecke der elementaren Analysis (auf dem Niveau dieses Buches) umfassend genug, dabei aber der Klasse der stetigen Funktionen hinreichend benachbart ist, so dass man ohne maßtheoretische Überlegungen auskommt. In dieser Weise sind wir hier verfahren, indem wir nur das Integral über einfache Funktionen definiert haben (man nennt es manchmal das ,,Cauchy–Integral”). Benötigt man stärkere Hilfsmittel, so kann man nicht halberwegs stehenbleiben; dann bleibt nur die allgemeine (Lebesguesche) Integrationstheorie als vernünftiger Ausweg. Jean Dieudonné, Grundzüge der modernen Analysis, Band 1, Vieweg, Braunschweig, 1985 (Frz. Erstauflage 1968), S. 143.
S. Hilger, Didaktik der Analysis 35 4.3 Einige didaktische Grundsatzfragen In welcher Reihenfolge sollen Differential- und Integralrechnung behandelt werden? D vor I: • Die Begriffs–Bildung und Theorie–Entwicklung ist weniger aufwändig. • Der Kalkül ist stärker algorithmisch, das heißt einfacher. • Ableitungen elementarer Funktionen sind wieder elementar. • Der Ableitungsbegriff wird (mehr oder weniger eingekleidet) stärker in anderen Fächern (Physik, Wirtschaft) benötigt. I vor D: • Dies entspricht der historischen Reihenfolge (Siehe oben). • Die Fragestellung ist geometrisch naheliegender. • Der Begriff is zwangloser motivierbar (vgl. Kontextfelder)!? Soll der Einstieg in die Integralrechnung über den Integralbegriff oder über den Begriff der Stammfunktion erfolgen? I vor S: • Geometrische Idee im Vordergrund. • Der HDI erscheint als echter Satz (mit AHA–Erlebnis!?). S vor I: • Zunächst keine aufwändige Begriffsbildung notwendig. • Es kann ziemlich schnell gerechnet werden. • Das Problem der Integrierbarkeit bleibt (zunächst) im Hintergrund. Der zweite Weg wird von Barth eingeschlagen, er ist auch im Lehrplan vorgesehen. Dazu auch wieder ein ,,pathologisches” Beispiel: Die Funktion 2 1 x sin , falls x = 0, F (x) = x 0, falls x = 0,
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