Didaktik der Analysis

S. Hilger, Didaktik der Analysis 7
4. Sprachliche Ausgestaltung (Verbalisierung) der Symbolik
• ∀ wird zu ,,Für alle”
• ∃ wird zu ,,Es existiert” oder ,,Es gibt ein. . . ”
• ε ∈ R + wird zu positives ε,
• |x − a| wird zu Abstand oder Umgebung
• f[ ˙ Uδ(a)] wird zu ,,Bild der punktierten Umgebung von a”,
• a wird zu ,,Stelle a”,
• b wird zu ,,Grenzwert b”,
• Anstelle von limx→a = b schreibt man ,,f(x) → b für x → a”.
• ⊆ wird zu ,,ist enthalten in” oder ,,liegt in”.
Damit kann man die Definition des Funktionsgrenzwerts formulieren:
Die Zahl b heißt
• Grenzwert der Funktion f an der Stelle a
(genau dann), wenn es
• zu jeder ε–Umgebung Uε(b) von b
• eine punktierte δ–Umgebung ˙ Uδ(a) von a gibt,
• so dass deren Bild (unter f) in der vorgegebenen ε–Umgebung von b liegt.
5. Graphische Umsetzung:
• Zu jedem Uε(b)
• gibt es ˙ Uδ(a),
• so dass f[ ˙ Uδ(a)] enthalten ist in Uε(b).
Es ist anschaulich klar:
Auch für sehr kleine ε kann man δ finden, so dass f[ ˙ Uδ(a)] liegt in Uε(b).
Idee: Graph als Glasfaser: Bei einer Beleuchtung mit einem (blauen) Parallellichtbündel
von rechts (HW–Achse) finde ich ein (grünes) Parallellichtbündel von
unten (RW–Achse), so dass der grüne Lichtfleck in dem blauen enthalten ist.
Nicht–Stetigkeit:
• Zu diesem Uε(b)
• gibt es kein ˙ Uδ(a),
• so dass f[ ˙ Uδ(a)] enthalten ist in Uε(b).
Ein großes Problem bereitet in diesem Zusammenhang (Beweis von Unstetigkeit)
die logische Negation der Grenzwert–Definition. Mit Quantoren ist dies formal sehr
einfach:
¬ lim f(x) = b ⇐⇒
x→a
0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − b| ≥ ε.
ε>0 δ>0 x∈Df \{a}