Sicherheit in Rechnernetzen - Professur Datenschutz und ...

3 Kryptografische Grundlagen
Dann heißt x diskreter Logarithmus von h zur Basis g modulo p:
x = logg(h) mod p
Zur Diskreter-Logarithmus-Annahme: Entsprechend §3.1.3.4 kann man zur Zeit nicht beweisen,
daß diskrete Logarithmen ziehen schwer ist, sondern man muß eine Annahme treffen. Diese
besagt, daß für jeden schnellen (Diskrete-Logarithmen-)Algorithmus L, die Wahrscheinlichkeit,
daß L einen diskreten Logarithmus tatsächlich ziehen kann, schnell immer kleiner wird, je größer
die Länge ℓ des Modulus wird.
Annahme: Für jeden (probabilistischen) polynomialen Algorithmus L und jedes Polynom Q:
gilt: Es existiert ein L, so daß für alle ℓ ≥ L gilt: Wenn p als zufällige Primzahl der Länge
ℓ gewählt wird und danach g zufällig innerhalb der Menge der Generatoren von Z ∗ p und x
zufällig in Z ∗ p gewählt werden und g x = h mod p
W(L(p, g, h) = x ≤ 1
Q(l) ,
Diffie-Hellman Schlüsselaustausch: Fest vereinbart und allgemein bekannt sind p und g. Teilnehmer
wählen als privaten Schlüssel jeweils zufällig ein Element von Z ∗ p, berechnen g hoch dieses
Element mod p und veröffentlichen das Ergebnis 72 . Jeder Teilnehmer kann mit einem anderen
einen Schlüssel „austauschen“, indem er dessen öffentlichen Schlüssel mit seinem eigenen
privaten Schlüssel mod p exponenziert. Da die Exponentiation, und damit auch die modulare
Exponentiation, kommutativ ist, erhalten beide Teilnehmer den gleichen geheimen Schlüssel,
vgl. Bild 3.53.
Die Hoffnung ist, daß außer diesen beiden Teilnehmern niemand deren geheimen Schlüssel
k = g xy mod p. berechnen kann. Dies ist die Diffie-Hellman-Annahme. Sie ist eine stärkere
Annahme als die Diskreter-Logarithmus-Annahme: Denn kann jemand diskrete Logarithmen
ziehen, so gewinnt er entweder x aus g x mod p oder y aus g y mod p. Damit kann er dann
aus g xy mod p bzw. g x mod p bequem g y mod p. berechnen. Umgekehrt konnte bisher nicht
gezeigt werden, daß aus g x mod p, g y mod p und g xy mod p entweder x oder y bestimmt
werden kann.
Das Bemerkenswerte ist, daß hier kein Schlüssel über das Netz übertragen werden muß, sondern
der gemeinsame jeweils lokal berechnet werden kann. Dies ist wichtig für die Anwendung
von Steganographie und führt zu Steganographie mit öffentlichen Schlüsseln, vgl. §4.1.2.
Bei Diffie-Hellman Schlüsselaustausch stehen im öffentlichen Schlüsselregister statt öffentlicher
Chiffrierschlüssel die öffentlichen Schlüssel der Teilnehmer. Ansonsten funktioniert alles
wie in Bild 3.5 gezeigt und in Aufgabe 3-6 geübt.
3.9.2 Für den Unterzeichner unbedingt sichere Signaturen
Die Sicherheit eines digitalen Signatursystems ist auch „asymmetrisch“: bei einem üblichen
Signatursystem (Bild 3.54) ist sie:
72 Die Veröffentlichung muß authentisch erfolgen, vgl. Aufgabe 3-6 c). Gesichert werden kann dies beispielsweise
durch die (mehrfache) Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel, vgl. §3.1.1.2
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