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3 Kryptografische Grundlagen
bestimmen, und es gilt:
y ≡ f (x) (mod n) ⇔ y ≡ yp (mod p) ∧ y ≡ yq (mod q).
Wir müssen also nur noch schauen, ob wir aus yp und yq effizient y zusammensetzen können.
Das tut der „Chinesische Restealgorithmus (CRA)“ (der eigentliche Chinesische Restsatz besagt
nur, daß ein solches y für beliebige yp, yq existiert):
Zunächst bestimmt man mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus ganze Zahlen u, v mit
Die Behauptung ist, daß
u · p + v · q = 1. 31
y = CRA(yp, yq) := u · p · yq + v · q · yp (mod n).
Wir müssen also y ≡ yp (mod p) ∧ y ≡ yq (mod q) zeigen. Dies sieht man am besten mit
folgender Tabelle:
(mod p) (mod q)
u · p 0 1
v · q 1 0
up yq + vq yp 0 · yq + 1 · yp 1 · yq + 0 · yp
≡ yp ≡ yq
(Die oberen beiden Zeilen folgen aus u · p + v · q = 1 und besagen, daß u · p und v · q in Zn
etwas wie zwei „Basisvektoren“ darstellen, wenn man Zn aus Zp und Zn zusammensetzt. Die
Berechnung von u· p und v·q kann ein für allemal bei Erzeugung des Geheimnisses geschehen.)
3.4.1.4 Quadrate und Wurzeln allgemein
Aus §3.4.1.3 wissen wir, wie ein Geheimnis p, q helfen kann, eine Funktion f (mod n) auszurechnen,
wenn sie modulo Primzahlen viel leichter zu berechnen ist. Eine solche Funktion wird
modulares Wurzelziehen sein. Man wird also das Geheimnis benötigen, um Wurzeln mod n zu
ziehen, während jeder andere allein anhand von n Quadrieren kann, also die inverse Operation
ausführen. Dazu betrachten wir zunächst Wurzeln und Quadrate in Restklassenringen genauer.
• Definiert sind sie genau wie man sich das vorstellen würde, außer daß man sich meistens
nur um invertierbare Elemente kümmert:
QR n := {x ∈ Z ∗ n|∃y ∈ Z ∗ n : y 2 ≡ x (mod n)}.
Die x’e aus dieser Menge heißen quadratische Reste (also das, was in N die Quadratzahlen
sind), und ein entsprechendes y heißt Wurzel aus x.
31 Zwei verschiedene Primzahlen haben ja den ggT = 1. Es ist leicht zu sehen, daß der CRA auch funktioniert, wenn
p und q keine Primzahlen, aber weiterhin teilerfremd sind. Durch wiederholte Anwendung des CRA kann der
Chinesische Restsatz auch für Produkte bestehend aus mehr als zwei Faktoren abgedeckt werden.
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