Sicherheit in Rechnernetzen - Professur Datenschutz und ...

Modulo 11: w∗
2
Modulo 7: w∗
2
≡ 10;
≡ 2;
B.3 Lösungen zu Kryptologische Grundlagen
Die gesuchte Signatur S ist also eine der 4 Zahlen CRA(±10, ±2). Vor dem QRA müssen
wir wieder für das Jacobi-Symbol +1 sorgen. Statt des Euler-Kriteriums können wir
verwenden, daß (§3.5.1)
2
2
= −1 und ≡ +1.
p
q
Danach ist, da die Jacobi-Symbole von w ∗ mod p und modq jeweils 1 waren,
w∗ /2
w∗ /2
= −1 und ≡ +1.
p
q
Also bilden wir CRA(−10, 2) (Man könnte auch CRA(10, −2)nehmen.)
CRA(−10, 2) = CRA(1, 2) = −21 · 1 + 22 · 2 = 23.
Wieder haben wir zufällig bereits diejenige der Zahlen ±S erwischt, die < 77/2
Anmerkung 1. Es ist egal, ob erst durch 2 dividiert und dann der CRA angewandt wird
oder umgekehrt.
2. Wenn Sie als Signatur 12 erhalten, dann haben Sie vergessen, die Jacobi-Symbole
zu beachten. 12 hat das Jacobi-Symbol
12
77
=
12
·
11
12
7
= 1 5 mod 11 · 12 3 mod 7 = 1 5 mod 11 · (−2) 3 mod 7 = −1.
12 liegt also nicht im Definitionsbereich der Permutationen. Das Vertrackte ist,
daß der Test der Signatur scheinbar trotzdem klappt: f0(f1(12)) = 17, denn f1(12) =
4 ∗ 12 2 mod 77 = 4 ∗ 144 mod 77 = 4 ∗ −10 mod 77 = 37.f0(37) = −(37 2 ) mod
77 = 17. Also muß die Prüfung, ob die Signatur im Definitionsbereich der Permutationen
liegt, Teil des Tests der Signatur sein.
b) Da 8 Nachrichten signiert werden sollen, hat der Referenzenbaum die Tiefe b = 3, wie in
den Bildern in §3.5.4.
Analog zu Bild 3.26 besteht die 4. Signatur, d. h. die an R011 hängende aus folgenden
Teilen: („Teile“ sind dabei genau die Punkte: Die schwarzen Referenzen und die grauen
Signaturen.)
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