MASTER THESIS - Fachhochschule Nordwestschweiz

Gleichungen zu Abbildung 61 der vorhergehenden Seite:
⎡ d U −U
C 2 ⎤
U = U = R5 ⋅ i = R5 ⋅ − ⋅U ⋅ C −
R5 C R1 C
dt R6
⎡ ⎤
⎢⎣ ⎥⎦
⎢⎣ ⎥⎦
&
U −U
&
R5
R6 R6
( )
C 2
0 = R5 ⋅ −U ⋅ C − − U = −U ⋅ C ⋅ R5 − ⋅ U −U −U
C C C C 2 C
⎛ ⎞
⎝ ⎠
R5 R5 R5 R5
0 = −U& ⋅ C ⋅ R5 − ⋅ U + ⋅U − U = −U& ⋅ C ⋅ R5 −U ⋅ ⎜1 + ⎟ + ⋅U
R6 R6 R6 R6
C C 2 C C C
2
Um diese Differentialgleichung zu lösen, ist eine konventionelle Lösung Erster Ordnung
gegeben:
x
y& = a ⋅ y + b ergibt f ( x) E e α⋅ β
= ⋅ −
α
Die Entwicklung der elektrischen Schaltung in der Form der letzten Gleichung:
⎛ ⎞
R5 R5 ⎜1 + ⎟ ⋅U
2
R6 6
R5 R6
R5 U 2
U& ⎝ ⎠ R
+ ⋅
= −U ⋅ + = −U ⋅ +
C C C
R5 ⋅C R5 ⋅C R5 ⋅ R6 ⋅C R5⋅ R6 ⋅ C
Die Lösung führt zu:
R5+ R6
− ⋅t
R5 ⋅U
R5⋅ R6⋅C 2
U ( t) = E ⋅ e +
C
R5 + R6
14243 14243
α β
Der letzte Variabel „E“ lässt sich mit Einsetzen der Zeit t=0 finden. Die Gleichung wird:
R5 ⋅U
2
U ( t ) = E +
C 0
R + R
5 6
R5 ⋅U
2
E = U ( t ) −
C 0
R5 + R6
Gleichung der Spannung des Kondensators vor einem Spannungsabfall:
U ( t ) U
t0
= ⋅
C 0 out
R5
R5 + R6
Also wird die Gleichung zu:
t + R 5+ R 6
t +
5 5 t
t R R ⋅U − ⋅ R5 ⋅U
0
out R 5⋅R 6⋅C
out
U ( t) = U ⋅ − ⋅ e +
C out
R5 + R6 R5 + R6 R5 + R6
R 5+ R 6
R5
⎡ − ⋅t
t t + 0
R 5 R 6 C t + ⎤
⋅ ⋅
U ( t) = ⋅ C ⎢( U − U out out ) ⋅ e + U out ⎥
R5 + R6
⎣ ⎦
46 25/02/2011