Algebraische Strukturen

Beweis.
1. Gruppen 11
(a) Für m ≥ 0 und n ≥ 0 ist die Behauptung klar nach Definition 1.11, da dann auf beiden Seiten
einfach (m + n)-mal das Element a mit sich selbst verknüpft wird. Ebenso ergibt sich die
Behauptung sofort für m < 0 und n < 0, weil dann auf beiden Seiten die (−m − n)-fache
Verknüpfung von a −1 mit sich selbst steht.
Ist hingegen m ≥ 0 und n < 0, so ist die linke Seite der zu beweisenden Gleichung nach
Definition 1.11 gleich
a
}
· ···
{{
· a
}
·a
} −1 · ···
{{
· a −1
}
.
m-mal (−n)-mal
Durch mehrfaches Herauskürzen von aa −1 in der Mitte erhält man daraus
a · ··· · a ((m − (−n))-mal) falls m ≥ −n,
a −1 · ··· · a −1 ((−n − m)-mal) falls m < −n.
In beiden Fällen ist das Ergebnis nach Definition 1.11 wie behauptet gleich a m+n .
Den noch fehlenden Fall m < 0 und n ≥ 0 zeigt man natürlich analog.
(b) Abhängig von n unterscheiden wir die folgenden Fälle:
(1) n ≥ 0: Dann ist die Behauptung wieder klar: für m ≥ 0 steht auf beiden Seiten der
zu beweisenden Gleichung die (mn)-fache Verknüpfung von a mit sich selbst, und für
m < 0 auf beiden Seiten die (−mn)-fache Verknüpfung von a −1 mit sich selbst.
(2) n = −1: Hier müssen wir (a m ) −1 = a −m zeigen, also dass a −m das Inverse zu a m ist.
Dies folgt aber aus Teil (a), da a −m · a m = a −m+m = a 0 = e gilt.
(3) Für n < −1 ergibt sich nun aus den vorherigen Resultaten
(a m ) n = ((a m ) −n ) −1 ((2) für die Basis a m und die Exponenten −n und −1)
= (a −mn ) −1 ((1) für die Basis a und die Exponenten m und −n > 0)
= a mn . ((2) für die Basis a und die Exponenten −mn und −1)
Damit haben wir die Behauptung in allen Fällen gezeigt.
Aufgabe 1.13. Es sei G eine Gruppe mit endlich vielen Elementen. Man zeige:
(a) Für alle a ∈ G gibt es ein n ∈ N >0 mit a n = e.
(b) Zu je zwei Elementen a,b ∈ G gibt es ein n ∈ N >0 mit a n = b n .
Aufgabe 1.14. Beweise, dass jede Gruppe mit genau 4 Elementen abelsch ist.
Aufgabe 1.15. Es sei G eine Gruppe, in der a 2 = e für jedes a ∈ G gilt. Zeige, dass G dann abelsch
ist.
Aufgabe 1.16. Es sei G = {a 1 ,...,a n } eine abelsche Gruppe der Ordnung n. Zeige, dass dann
(a 1 · ··· · a n ) 2 = e gilt.
□