Algebraische Strukturen

10. Teilbarkeit in Ringen 67
Die gemeinsamen Teiler von 4 und 6 sind also offensichtlich −2, −1, 1 und 2. Von diesen sind −2
und 2 nach Definition 10.14 (a) größte gemeinsame Teiler, denn alle diese vier Teiler von 4 und 6
sind offensichtlich auch Teiler von −2 und 2. Also ist
ggT(4,6) = {−2,2}.
Insbesondere ist der größte gemeinsame Teiler also nicht eindeutig. Diese Nichteindeutigkeit besteht
hier aber nur im Vorzeichen, also in der Möglichkeit, einen größten gemeinsamen Teiler noch mit der
Einheit −1 von Z zu multiplizieren. Dies ist in der Tat ein allgemeines Phänomen, wie der folgende
Satz zeigt.
Satz 10.16 ((Nicht-)Eindeutigkeit des ggT). Es sei R ein Integritätsring und g ein größter gemeinsamer
Teiler zweier Elemente a,b ∈ R. Dann ist ggT(a,b) = R ∗ g = {cg : c ∈ R ∗ }.
Ein größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente in einem Integritätsring ist also stets eindeutig bis
auf Multiplikation mit Einheiten.
Beweis.
” ⊂“: Es sei g′ ∈ ggT(a,b). Damit sind g und g ′ größte gemeinsame Teiler von a und b. Wenden
wir Teil (1) von Definition 10.14 (a) auf g ′ an, so sehen wir also, dass g ′ |a und g ′ |b. Damit
können wir dann Teil (2) mit c = g ′ anwenden und erhalten g ′ |g. Durch Vertauschen der
Rollen von g und g ′ ergibt sich genauso g|g ′ . Nach Lemma 10.11 (b) folgt damit g ′ = cg für
ein c ∈ R ∗ .
” ⊃“: Es sei g′ = cg für ein c ∈ R ∗ . Dann folgt g|g ′ und g ′ |g nach Lemma 10.11 (b). Unter Benutzung
der Transitivität der Teilbarkeitsrelation aus Bemerkung 10.10 (a) erfüllt daher mit
g auch g ′ die beiden Eigenschaften aus Definition 10.14 (a):
(1) es gilt g ′ |g|a und g ′ |g|b;
(2) ist d ∈ R mit d |a und d |b, so folgt d |g|g ′ .
Also ist auch g ′ ein größter gemeinsamer Teiler von a und b.
Bemerkung 10.17. Der Beweis von Satz 10.16 lässt sich durch ”
Umkehren der Teilbarkeitsrelationen“
ganz analog auch für den Fall des kleinsten gemeinsamen Vielfachen führen.
Nach der Eindeutigkeit kommen wir nun zur Existenz eines größten gemeinsamen Teilers. Mit der
Vorstellung des Ringes Z im Hintergrund würden wir wahrscheinlich erwarten, dass zwei Elemente
stets einen größten gemeinsamen Teiler besitzen. Leider ist dies im Allgemeinen jedoch nicht der
Fall, wie die folgende Aufgabe zeigt.
Aufgabe 10.18 ((Nicht-)Existenz des ggT). Wir betrachten noch einmal den Ring R = Z[ √ 5i] =
{a + b √ 5i : a,b ∈ Z} ≤ C wie in Aufgabe 7.21.
(a) Bestimme alle Teiler von 2, 1 + √ 5i, 2(1 + √ 5i) und 6 in R.
(b) Zeige, dass die Elemente 2(1+ √ 5i) und 6 in R keinen größten gemeinsamen Teiler besitzen.
(Wie in Aufgabe 7.21 betrachte man zu einem Element z = a + b √ 5i ∈ R das Betragsquadrat |z| 2 =
a 2 + 5b 2 ∈ N.)
Die Frage nach der Existenz eines größten gemeinsamen Teilers gestaltet sich also etwas schwieriger
als erwartet. Gleichzeitig wollen wir von einem größten gemeinsamen Teiler natürlich auch nicht
nur sehen, ob er existiert, sondern ihn im Fall der Existenz auch konkret berechnen können. Die
Hauptidee hierfür liegt im folgenden Lemma.
Lemma 10.19. Es seien R ein Integritätsring und a,b,q ∈ R. Dann gilt:
(a) a ∈ ggT(a,0);
(b) ggT(a,b) = ggT(a,b + qa).
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