Algebraische Strukturen

68 Andreas Gathmann
Beweis.
(a) Da jedes Element von R nach Beispiel 10.9 (b) ein Teiler von 0 ist, sind die Eigenschaften
eines größten gemeinsamen Teilers aus Definition 10.14 (a) für a trivialerweise erfüllt.
(b) Für alle c ∈ R gilt nach Bemerkung 10.10 (b)
c|a und c|b ⇒ c|a und c|b + qa
⇒ c|a und c|(b + qa) + (−qa) = b.
Damit haben a und b die gleichen gemeinsamen Teiler wie a und b + qa. Insbesondere ist
damit also ggT(a,b) = ggT(a,b + qa).
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Beispiel 10.20. Unsere Strategie zur Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers (und somit
auch zum Nachweis seiner Existenz) wird es nun sein, in Lemma 10.19 die Relation (b) mehrfach
geschickt so anzuwenden, dass wir letztlich den Fall (a) erreichen, in dem wir einen größten gemeinsamen
Teiler direkt ablesen können. Wir können also jeweils zu einem der Elemente ein beliebiges
Vielfaches des anderen addieren und wollen so nach mehreren Schritten den Fall erreichen, bei dem
eines der Elemente gleich 0 ist. Möchten wir z. B. ggT(44,10) in Z berechnen, so könnten wir mit
dem Ergebnis aus Lemma 10.19 wie folgt vorgehen:
ggT(44,10) (b)
= ggT(44 − 4 · 10,10) = ggT(4,10)
(b)
= ggT(4,10 − 2 · 4) = ggT(4,2)
(b)
= ggT(4 − 2 · 2,2) = ggT(0,2)
(a)
∋ 2.
Ihr seht natürlich sofort, welche Strategie ich hier angewendet habe: ich habe jeweils die größere
Zahl mit Rest durch die kleinere geteilt und konnte sie mit Hilfe von (b) dann durch den Rest dieser
Division ersetzen. Da die beteiligten Zahlen bei dieser Vorgehensweise in N bleiben und immer
kleiner werden, ist natürlich klar, dass letztlich einmal eine der Zahlen gleich Null werden und das
Verfahren somit funktionieren muss.
Die entscheidende Idee bei diesem Verfahren ist also eine Division mit Rest. Eine solche gibt es
zwar nicht in jedem Integritätsring, aber doch (wie wir sehen werden) in deutlich mehr Ringen als
nur in Z. Wir wollen die Existenz einer solchen Division mit Rest daher jetzt als Eigenschaft eines
Ringes definieren.
Definition 10.21 (Euklidische Ringe). Ein Integritätsring R heißt euklidischer Ring, wenn es eine
Abbildung δ : R\{0} → N mit der folgenden Eigenschaft gibt: für alle a,b ∈ R mit b ≠ 0 gibt es
q,r ∈ R mit a = qb + r, so dass r = 0 oder δ(r) < δ(b) ist. (Es muss also eine Division mit Rest
geben, wobei der Rest r — sofern er nicht Null ist — ”
gemessen mit der Funktion δ“ stets kleiner
ist als das Element, durch das man geteilt hat.)
Eine Funktion δ mit dieser Eigenschaft wird als euklidische Funktion bezeichnet.
Beispiel 10.22. Der Ring Z ist mit der Funktion δ(n) := |n| ein euklidischer Ring.
Beachte, dass die Division mit Rest im Sinne von Definition 10.21 in diesem Fall nicht eindeutig ist:
wollen wir z. B. a = −5 mit Rest durch b = 2 teilen, so wären sowohl −5 = (−3) · 2 + 1 als auch
−5 = (−2)·2−1 wegen |1| = |−1| < |2| erlaubte Ergebnisse. Dies ist jedoch nicht weiter schlimm,
denn eine Eindeutigkeit der Division mit Rest wird im Folgenden nicht benötigt (und wurde in
Definition 10.21 ja auch nicht verlangt).
Bevor wir untersuchen, wie man mit der Idee aus Beispiel 10.20 in einem euklidischen Ring einen
größten gemeinsamen Teiler zweier Elemente berechnen kann, wollen wir zuerst noch ein sehr wichtiges
Beispiel eines weiteren euklidischen Ringes kennen lernen: den Polynomring über einem beliebigen
Körper. In ihm existiert mit der sogenannten Polynomdivision ebenfalls eine Division mit
Rest.