Algebraische Strukturen

4. Morphismen 29
Ein Fehlstand liegt dabei nach Definition genau dann vor, wenn in der zweiten Zeile
(σ(i),σ( j)) die erste Zahl größer ist als die zweite. In der Darstellung
( )
1 2 ··· n
σ =
σ(1) σ(2) ··· σ(n)
ist ein Fehlstand also genau ein Paar von zwei Zahlen in der zweiten Zeile, bei dem die links
stehende Zahl größer ist als die rechte. Wie man aus der Tabelle sieht, hat unser konkretes
Beispiel 2 Fehlstände, und damit ist hier signσ = 1.
(c) Es sei σ ∈ S n eine Transposition, also σ = (k l ) für gewisse 1 ≤ k < l ≤ n. Als Wertetabelle
geschrieben bedeutet dies
( )
1 ··· k − 1 k k + 1 ··· l − 1 l l + 1 ··· n
σ =
,
1 ··· k − 1 l k + 1 ··· l − 1 k l + 1 ··· n
wobei in den mit den Punkten bezeichneten Spalten die erste Zeile mit der zweiten
übereinstimmt. Um das Signum dieser Transposition zu berechnen, müssen wir einfach
nachschauen, wie oft hier in der unteren Zeile eine größere Zahl links von einer kleineren
steht. Offensichtlich ist dies genau für die Paare von Spalten
und
(k,k + 1),(k,k + 2),...,(k,l − 1),(k,l)
(k + 1,l),(k + 2,l),...,(l − 1,l)
der Fall. Die Anzahl m(σ) der Fehlstände von σ ist also (l −k)+(l −k−1) = 2(l −k)−1. Da
diese Zahl in jedem Fall ungerade ist, sehen wir also, dass signσ = −1 für jede Transposition
σ gilt.
Wir wollen jetzt zeigen, dass die Funktion σ ↦→ sign(σ) wie bereits behauptet ein Morphismus ist,
also dass sign(στ) = signσ ·signτ für alle σ,τ ∈ S n gilt. Als Vorbereitung dafür benötigen wir noch
ein Lemma, das eine alternative Darstellung des Signums liefert.
Lemma 4.18. Für alle σ ∈ S n gilt
σ( j) − σ(i)
signσ = ∏
i< j
j − i
(wobei das Produktzeichen ∏, das ihr inzwischen sicher aus den Grundlagen der Mathematik kennt,
bedeutet, dass das Produkt des daneben stehenden Ausdrucks über alle i und j mit 1 ≤ i < j ≤ n zu
bilden ist).
Beispiel 4.19. Das folgende Beispiel zeigt, wie die Formel des Lemmas zu verstehen ist: betrachten
wir wieder die Permutation σ = (1 2 3) und die dazugehörige Tabelle aus Beispiel 4.17 (b), so
besagt die Formel aus Lemma 4.18 gerade, dass
was mit dem Ergebnis aus Beispiel 4.17 (b) übereinstimmt.
signσ = 3 − 2
2 − 1 · 1 − 2
3 − 1 · 1 − 3 = 1, (∗)
3 − 2
Beachte, dass in diesem Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner genau alle Differenzen von
zwei verschiedenen Zahlen zwischen 1 und 3 stehen. Im Nenner stehen dabei stets die positiven
Differenzen, während im Zähler bei jedem Fehlstand (i, j) — also wenn σ( j) − σ(i) < 0 für i < j
ist — eine negative Zahl steht. Wir sehen also auch ohne explizite Berechnung des Bruches, dass
sich die Beträge aller Faktoren wegkürzen und wir ein negatives Vorzeichen pro Fehlstand erhalten.
Insgesamt ergibt sich so also genau das Signum der Permutation. In der Tat ist dies auch schon die
Idee für den allgemeinen Beweis von Lemma 4.18: