Algebraische Strukturen

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INDEX abelsche Gruppe, 5 Abgeschlossenheit, 17 Äquivalenzklasse, 33 Äquivalenzrelation, 32 Algorithmus euklidischer, 69 alternierende Gruppe, 31 Assoziativität, 5, 46 assoziiertes Element, 65 Bild einer Menge, 26 eines Morphismus, 27, 52 Cauchy-Produkt, 60 chinesischer Restsatz, 80 Diedergruppe, 22 disjunkte Zykel, 14 Distributivität, 46 Einheit, 48 Einheitengruppe, 48 Einwegfunktion, 3 Element assoziiertes, 65 inverses, 8 invertierbares, 48 irreduzibles, 75 linksinverses, 5 linksneutrales, 5 neutrales, 8, 46 nilpotentes, 50 primes, 75 rechtsinverses, 8 rechtsneutrales, 8 endliche Gruppe, 5 erzeugte Untergruppe, 20 erzeugtes Ideal, 55 euklidische Funktion, 68 euklidischer Algorithmus, 69 euklidischer Ring, 68 Faktorgruppe, 42 faktorieller Ring, 78 Faktorring, 57 Fakultät, 13 Fehlstand einer Permutation, 28 Fermat, 37 Fibonacci-Folge, 62 formale Potenzreihe, 60 formale Variable, 60 Fundamentalsatz der Algebra, 79 Funktion euklidische, 68 ganze Zahlen, 5 Grad eines Polynoms, 62 Gradformel, 64 84 größter gemeinsamer Teiler, 66 Gruppe, 5 abelsche, 5 alternierende, 31 der Permutationen, 13 endliche, 5 isomorphe, 24 kommutative, 5 symmetrische, 12 triviale, 6 zyklische, 44 Gruppenaxiome, 5 Gruppenhomomorphismus, 23 Gruppenisomorphismus, 24 Hauptideal, 73 Hauptidealring, 73 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 77 Homomorphiesatz für Gruppen, 43 für Ringe, 57 Homomorphismus von Gruppen, 23 von Körpern, 52 von Ringen, 52 Ideal, 54 erzeugtes, 55 triviales, 55 Indexmenge, 19 Induktion vollständige, 13 Induktionsanfang, 13 Induktionsannahme, 13 Induktionsschritt, 13 Induktionsvoraussetzung, 13 Integritätsring, 64 inverses Element, 8 invertierbares Element, 48 irreduzibel, 75 isomorph, 24, 52 Isomorphismus von Gruppen, 24 von Körpern, 52 von Ringen, 52 Kern eines Morphismus, 27, 52 kleinstes gemeinsames Vielfaches, 66 Körper, 48 isomorpher, 52 Körperhomomorphismus, 52 Körperisomorphismus, 52 kommutative Gruppe, 5 Kommutativität, 5, 46 konjugierte Permutationen, 33 konstantes Polynom, 62 Kürzungsregel in Gruppen, 10 in Integritätsringen, 65
Index 85 Lagrange, 36 Leitkoeffizient eines Polynoms, 62 lineares Polynom, 62 Linearkombination, 55, 70 linksinverses Element, 5 Linksnebenklasse, 34 linksneutrales Element, 5 modulo, 42 Morphismus von Gruppen, 23 von Körpern, 52 von Ringen, 52 natürliche Zahlen, 5 Nebenklasse, 34 neutrales Element, 8, 46 nilpotentes Element, 50 Normalteiler, 40 normiertes Polynom, 62 Nullring, 47 Nullstelle einer Polynomfunktion, 63 Nullteiler, 48 Ordnung einer Gruppe, 5 eines Gruppenelements, 36 Partition, 33 Permutation, 13 konjugierte, 33 Polynom, 61 konstantes, 62 lineares, 62 normiertes, 62 Polynomdivision, 69 Polynomfunktion, 63 Polynomring, 62 Potenz, 10 Potenzreihe, 60 formale, 60 Potenzreihenring, 61 formaler, 61 Primelement, 75 Primfaktorzerlegung, 76 Produkt von Gruppen, 7 Produktformel, 34 Prüfziffern, 1 Quantor, 5 Radikal, 56 rationalen Zahlen, 5 rechtsinverses Element, 8 Rechtsnebenklasse, 35 rechtsneutrales Element, 8 reelle Zahlen, 5 Reflexivität einer Relation, 32 Relation, 32 Repräsentant einer Äquivalenzklasse, 33 Restklassenabbildung, 42 Restsatz chinesischer, 80 Ring, 46 euklidischer, 68 faktorieller, 78 isomorpher, 52 kommutativer, 46 mit Eins, 46 ZPE, 78 Ringhomomorphismus, 52 Ringisomorphismus, 52 Satz von Fermat, 37 von Lagrange, 36 Signum einer Permutation, 28 Symmetrie einer Relation, 32 symmetrische Gruppe, 12 Teiler, 65 größter gemeinsamer, 66 teilerfremd, 66 Transitivität einer Relation, 32 Transposition, 14 triviale Gruppe, 6 triviale Untergruppe, 17 triviales Ideal, 55 Untergruppe, 17 erzeugte, 20 triviale, 17 Untergruppenkriterium, 17 Unterring, 50 Unterringkriterium, 51 Urbild einer Menge, 27 Variable formale, 60 Vielfaches, 65 kleinstes gemeinsames, 66 vollständige Induktion, 13 Vorzeichen einer Permutation, 28 Wert eines Polynoms, 63 Wohldefiniertheit, 38 Zahlen ganze, 5 natürliche, 5 rationale, 5 reelle, 5 Zahlentheorie Hauptsatz der, 77 ZPE-Ring, 78 Zykel, 14 disjunkte, 14 Zykelzerlegung, 15
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Algebraische Strukturen Andreas Gat
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0. Einleitung und Motivation 1 0. E
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0. Einleitung und Motivation 3 Wir
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1. Gruppen 5 1. GRUPPEN Wie schon i
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1. Gruppen 7 (G2) Die Zahl e := −
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1. Gruppen 9 (b) Es sei e ∈ G ein
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Beweis. 1. Gruppen 11 (a) Für m
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2. Symmetrische Gruppen 13 Notation
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2. Symmetrische Gruppen 15 (b) Sind
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3. Untergruppen 17 3. UNTERGRUPPEN
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(b) G = S 4 , U = {σ ∈ S 4 : σ
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3. Untergruppen 21 genau die Unterg
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4. Morphismen 23 4. MORPHISMEN Wir
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4. Morphismen 25 veranschaulicht di
Seite 29 und 30:
4. Morphismen 27 • für U ⊂ H m
Seite 31 und 32:
4. Morphismen 29 Ein Fehlstand lieg
Seite 33 und 34:
4. Morphismen 31 was nach Lemma 4.1
Seite 35 und 36: Beispiel 5.3. 5. Äquivalenzrelatio
Seite 37 und 38: 5. Äquivalenzrelationen 35 (b) Fü
Seite 39 und 40: Beispiel 5.13. 5. Äquivalenzrelati
Seite 41 und 42: 6. Faktorgruppen 39 Aufgabe 6.2. In
Seite 43 und 44: Beispiel 6.6. 6. Faktorgruppen 41 (
Seite 45 und 46: 6. Faktorgruppen 43 (a) Ist 2 ein T
Seite 47 und 48: 6. Faktorgruppen 45 Beweis. (a) Es
Seite 49 und 50: Beispiel 7.4. 7. Ringe und Körper
Seite 51 und 52: (b) Ist a ∈ R eine Einheit, so is
Seite 53 und 54: (a) 1 ∈ S; 7. Ringe und Körper 5
Seite 55 und 56: 7. Ringe und Körper 53 (1) nach De
Seite 57 und 58: 8. Ideale und Faktorringe 55 Da jed
Seite 59 und 60: 8. Ideale und Faktorringe 57 (a) Au
Seite 61 und 62: 9. Polynom- und Potenzreihenringe 5
Seite 67 und 68: 10. Teilbarkeit in Ringen 65 10 Die
Seite 69 und 70: 10. Teilbarkeit in Ringen 67 Die ge
Seite 71 und 72: 10. Teilbarkeit in Ringen 69 Satz 1
Seite 73 und 74: 10. Teilbarkeit in Ringen 71 Dazu s
Seite 75 und 76: 10. Teilbarkeit in Ringen 73 auch a
Seite 77 und 78: 11. Primfaktorzerlegungen 75 11. PR
Seite 79 und 80: Beweis. 11. Primfaktorzerlegungen 7
Seite 81 und 82: 11. Primfaktorzerlegungen 79 • n
Seite 83 und 84: 11. Primfaktorzerlegungen 81 und be
Seite 85: Literatur 83 LITERATUR [C] P. Cohn,
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