Algebraische Strukturen

9. Polynom- und Potenzreihenringe 63
gilt, und folgere daraus für n ∈ N die nicht-rekursive Formel
⎛(
a n = √ 1 · ⎝
1 + √ ) n+1 (
5 1 − √ ) ⎞ n+1
5
− ⎠.
5 2
2
Aufgabe 9.11. Für eine Potenzreihe f = ∑ ∞ n=0 a n t n über einem Ring R definieren wir die (formale)
Ableitung als f ′ := ∑ ∞ n=1 na n t n−1 .
(a) Man zeige: Für alle f ,g ∈ R[[t]] gilt ( f + g) ′ = f ′ + g ′ und ( f g) ′ = f ′ g + f g ′ .
(b) Bestimme in den beiden Fällen R = R und R = Z 7 alle Potenzreihen mit Ableitung 0 ∈ R[[t]].
Wie schon am Anfang dieses Kapitels erwähnt bestimmt ein Polynom über R eine Funktion von R
nach R:
Definition 9.12 (Polynomfunktionen). Ist f = a 0 + a 1 t + ··· + a n t n ein Polynom über einem Ring R
und x ∈ R, so heißt das Ringelement
f (x) := a 0 + a 1 x + ··· + a n x n
der Wert von f in x. Die zugehörige Funktion R → R, x ↦→ f (x) wird eine Polynomfunktion genannt.
Ist f (x) = 0 ∈ R, so heißt x eine Nullstelle von f .
Beispiel 9.13. Nach Definition 9.12 bestimmt jedes Polynom f über einem Ring R eine Polynomfunktion
R → R, x ↦→ f (x). Wie wir schon in der Einleitung dieses Kapitels gesehen haben, können
aber zwei verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion bestimmen: z. B. hat das Polynom
t 2 + t über Z 2 in jedem Element von Z 2 den Wert Null. Während die beiden Polynome t 2 + t und
0 verschieden sind, sind die beiden zugehörigen Polynomfunktionen t ↦→ t 2 +t und t ↦→ 0 hier also
gleich. Beachte, dass dies u. a. auch bedeutet, dass man einer Polynomfunktion in der Regel keinen
wohldefinierten Grad zuordnen kann — hier verhalten sich Polynome aus algebraischer Sicht also
deutlich schöner als Polynomfunktionen.
Wir werden in Folgerung 11.16 allerdings noch sehen, dass Polynome und Polynomfunktionen über
Körpern mit unendlich vielen Elementen (also z. B. R oder C) übereinstimmen, so dass es in diesem
wohl wichtigsten Fall keinen Unterschied macht, ob wir bei Polynomen an Funktionen oder an die
formalen Ausdrücke aus Definition 9.6 denken.
Aufgabe 9.14. Man zeige:
∈ R
(a) Sind R ≤ S Ringe und x ∈ S, so ist die ”
Auswerteabbildung“
ein Ringhomomorphismus.
ϕ : R[t] → S, f =
n
∑
k=0
a k t k ↦→ f (x) :=
(b) Jedes Element des Ringes R[t]/(t 2 +1) lässt sich in der Form a 1 t + a 0 mit a 0 ,a 1 ∈ R schreiben.
(c) Die Abbildung R[t]/(t 2 + 1) → C,
n
∑
k=0
a k x k
f ↦→ f (i) ist ein Ringisomorphismus.
(Man kann C also sehr elegant als R[t]/(t 2 + 1) definieren — dies definiert dann gleichzeitig schon
die Addition und Multiplikation auf C und zeigt dafür ohne weitere Rechnung alle Ringaxiome.)