Algebraische Strukturen

28 Andreas Gathmann
Mit dieser Definition können wir nun ein einfaches Kriterium dafür angeben, ob ein Morphismus
injektiv ist. Haben wir eine beliebige Abbildung f : G → H zwischen Mengen, so müssen wir für
die Injektivität ja bekanntlich nachprüfen, ob das Urbild jedes Punktes in H höchstens ein Element
besitzt. Ist f hingegen ein Gruppenhomomorphismus, so genügt es nachzuschauen, ob das Urbild
des neutralen Elements einelementig ist — was in der Regel natürlich einfacher nachzuprüfen ist.
Lemma 4.14 (Kriterium für Injektivität). Ein Morphismus f : G → H von Gruppen ist genau dann
injektiv, wenn Ker f = {e}.
Beweis. Wir haben zwei Richtungen zu zeigen:
⇒“: Es sei f injektiv. Nach Lemma 4.4 (a) ist f (e) = e, also e ∈ Ker f . Da nun wegen der Injektivität
von f kein anderes Element von G auch noch auf e abgebildet werden kann, folgt
”
sofort Ker f = {e}.
⇐“: Es gelte nun Ker f = {e}; wir müssen zeigen, dass f injektiv ist. Es seien also a,b ∈ G
”
mit f (a) = f (b). Dann ist f (a · b −1 ) = f (a) · f (b) −1 = e, d. h. es ist a · b −1 ∈ Ker f . Nach
Voraussetzung folgt also a · b −1 = e und damit a = b.
□
Aufgabe 4.15.
(a) Es sei G eine Gruppe. Für a ∈ G definieren wir die Abbildung
σ a : G → G, σ a (b) = a · b.
Zeige, dass σ a ein Element der symmetrischen Gruppe S(G) ist, und dass die Abbildung
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ein injektiver Morphismus ist.
f : G → S(G), f (a) = σ a
(b) Beweise, dass jede Gruppe zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph ist.
Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels über Morphismen nun noch einen besonders interessanten
und wichtigen Morphismus konstruieren: das sogenannte Signum bzw. Vorzeichen von Permutationen.
Definition 4.16 (Signum von Permutationen). Es sei n ∈ N >0 und σ ∈ S n .
(a) Ein Fehlstand von σ ist ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ( j). Wir bezeichnen
die Anzahl der Fehlstände von σ mit m(σ) ∈ N.
(b) Die Zahl
Beispiel 4.17.
signσ := (−1) m(σ) =
heißt das Signum oder Vorzeichen von σ.
{
1 falls m(σ) gerade,
−1 falls m(σ) ungerade
(a) Die Identität id ∈ S n hat natürlich keinen Fehlstand; es ist also sign id = 1.
(b) Wir betrachten die Permutation
σ = (1 2 3) =
( )
1 2 3
∈ S
2 3 1 3 .
Die folgende Tabelle listet die drei Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ 3 auf, darunter die entsprechenden
Werte (σ(i),σ( j)), und ob es sich bei (i, j) um einen Fehlstand handelt oder nicht:
(i, j) (1,2) (1,3) (2,3)
(σ(i),σ( j)) (2,3) (2,1) (3,1)
Fehlstand? nein ja ja