Algebraische Strukturen

82 Andreas Gathmann
• Die Lösung des gegebenen Gleichungssystems sind dann alle x ∈ Z mit x = a in Z N ,
also alle x ∈ a + N Z.
(c) Als konkretes Beispiel für das Verfahren aus (b) wollen wir alle x ∈ Z finden, die das Gleichungssystem
x = 1 mod 2
x = 1 mod 3
x = 3 mod 5
erfüllen. Mit den Bezeichnungen aus (b) ist dann zunächst einmal N = 2 · 3 · 5 = 30 sowie
N 1 = 3·5 = 15, N 2 = 2·5 = 10 und N 3 = 2·3 = 6. Wir kommen nun zur Inversenbestimmung
im obigen Verfahren:
• In Z n1 = Z 2 ist das Inverse von N 1 = 15 = 1 offensichtlich 1 (die Situation ist hier so
einfach, dass wir den euklidischen Algorithmus nicht anwenden müssen). Wir setzen
also M 1 = 1.
• In Z n2 = Z 3 ist das Inverse von N 2 = 10 = 1 wiederum 1, also setzen wir auch M 2 = 1.
• In Z n3 = Z 5 ist das Inverse von N 3 = 6 = 1 wieder 1, also ist auch M 3 = 1.
Damit ist also
a = a 1 M 1 N 1 + a 2 M 2 N 2 + a 3 M 3 N 3 = 1 · 1 · 15 + 1 · 1 · 10 + 3 · 1 · 6 = 43,
d. h. die Lösung des gegebenen Gleichungssystems sind alle x ∈ Z mit x = 43 = 13 ∈ Z 30 ,
also alle x ∈ 13 + 30Z.
Eine Kontrolle dieses Ergebnisses ist übrigens sehr einfach möglich, da man natürlich schnell
nachprüfen kann, dass die Zahl 13 wirklich das gegebene Gleichungssystem erfüllt.
Aufgabe 11.23. Bestimme alle x ∈ Z, für die die folgenden Gleichungssysteme erfüllt sind:
(a) x = 2 mod 4
x = 6 mod 7
x = 3 mod 9
(b) x = 5 mod 6
3x = −1 mod 14
Aufgabe 11.24. Man beweise oder widerlege:
(c) x = 1 mod n für alle n = 2,...,10
(a) Ist n ∈ N >1 mit Primfaktorzerlegung n = p a 1
1 · ··· · pa k
k
(wobei p 1,..., p k paarweise verschiedene
(positive) Primzahlen und a 1 ,...,a k ∈ N >0 sind), so ist
(b) Mit den Voraussetzungen aus (a) gilt
Z ∗ n ∼ = Z ∗ p a 1
1
× ··· × Z ∗ p a k .
k
Z ∗ n ∼ = (Z ∗ p 1
) a 1
× ··· × (Z ∗ p k
) a k
.
13
(c) Es ist Z ∗ 15 ∼ = Z 4 × Z 2 .