Algebraische Strukturen

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82 Andreas Gathmann • Die Lösung des gegebenen Gleichungssystems sind dann alle x ∈ Z mit x = a in Z N , also alle x ∈ a + N Z. (c) Als konkretes Beispiel für das Verfahren aus (b) wollen wir alle x ∈ Z finden, die das Gleichungssystem x = 1 mod 2 x = 1 mod 3 x = 3 mod 5 erfüllen. Mit den Bezeichnungen aus (b) ist dann zunächst einmal N = 2 · 3 · 5 = 30 sowie N 1 = 3·5 = 15, N 2 = 2·5 = 10 und N 3 = 2·3 = 6. Wir kommen nun zur Inversenbestimmung im obigen Verfahren: • In Z n1 = Z 2 ist das Inverse von N 1 = 15 = 1 offensichtlich 1 (die Situation ist hier so einfach, dass wir den euklidischen Algorithmus nicht anwenden müssen). Wir setzen also M 1 = 1. • In Z n2 = Z 3 ist das Inverse von N 2 = 10 = 1 wiederum 1, also setzen wir auch M 2 = 1. • In Z n3 = Z 5 ist das Inverse von N 3 = 6 = 1 wieder 1, also ist auch M 3 = 1. Damit ist also a = a 1 M 1 N 1 + a 2 M 2 N 2 + a 3 M 3 N 3 = 1 · 1 · 15 + 1 · 1 · 10 + 3 · 1 · 6 = 43, d. h. die Lösung des gegebenen Gleichungssystems sind alle x ∈ Z mit x = 43 = 13 ∈ Z 30 , also alle x ∈ 13 + 30Z. Eine Kontrolle dieses Ergebnisses ist übrigens sehr einfach möglich, da man natürlich schnell nachprüfen kann, dass die Zahl 13 wirklich das gegebene Gleichungssystem erfüllt. Aufgabe 11.23. Bestimme alle x ∈ Z, für die die folgenden Gleichungssysteme erfüllt sind: (a) x = 2 mod 4 x = 6 mod 7 x = 3 mod 9 (b) x = 5 mod 6 3x = −1 mod 14 Aufgabe 11.24. Man beweise oder widerlege: (c) x = 1 mod n für alle n = 2,...,10 (a) Ist n ∈ N >1 mit Primfaktorzerlegung n = p a 1 1 · ··· · pa k k (wobei p 1,..., p k paarweise verschiedene (positive) Primzahlen und a 1 ,...,a k ∈ N >0 sind), so ist (b) Mit den Voraussetzungen aus (a) gilt Z ∗ n ∼ = Z ∗ p a 1 1 × ··· × Z ∗ p a k . k Z ∗ n ∼ = (Z ∗ p 1 ) a 1 × ··· × (Z ∗ p k ) a k . 13 (c) Es ist Z ∗ 15 ∼ = Z 4 × Z 2 .
Literatur 83 LITERATUR [C] P. Cohn, Algebra, Vol. I, Wiley (1977) [E] H.-D. Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer (1988) [L] S. Lang, Algebraische Strukturen, Vandenhoeck & Ruprecht (1979) [M] T. Markwig, Algebraische Strukturen, Vorlesungsskript TU Kaiserslautern (2008/09), http://www.mathematik.uni-kl.de/˜keilen/download/Lehre/AGSWS08/skript.pdf
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