Algebraische Strukturen

11. Primfaktorzerlegungen 81
und behaupten, dass die zugehörige Restklasse a ∈ Z N ein Urbild von (a 1 ,...,a k ) unter f ist. In der
Tat ist dies nun nur eine einfache Rechnung: für i = 1,...,k gilt in Z ni
a =
k
∑
j=1
a j M j N j
= a i M i N i (N j enthält für j ≠ i den Faktor n i , also ist dann N j = 0 ∈ Z ni )
(∗)
= a i ,
und damit ist natürlich f (a) = (a,...,a) = (a 1 ,...,a k ) ∈ Z n1 × ··· × Z nk .
□
Beispiel 11.22. Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes können wir nun Gleichungssysteme von Restklassen,
wie wir sie oben betrachtet haben, leicht umformen. Dabei können wir den Isomorphismus
aus Satz 11.21 ”
sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links lesen“:
(a) Betrachten wir für ein gegebenes a ∈ Z die Gleichung x = a in einem Restklassenring Z N
und können wir dieses N als Produkt N = n 1 · ··· ·n k von Zahlen mit ggt(n i ,n j ) = 1 für i ≠ j
schreiben, so lässt sich die betrachtete Gleichung durch Anwenden des Isomorphismus aus
dem chinesischen Restsatz 11.21 vom Ring Z N nach Z n1 × ··· × Z nk übertragen, d. h. wir
erhalten die Äquivalenz von Gleichungssystemen
x = a ∈ Z N
⇔
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = a ∈ Z n1
.
x = a ∈ Z nk .
Konkret sind z. B. die folgenden Gleichungssysteme äquivalent:
x = 5 mod 6
⇔
x = 5 mod 2
x = 5 mod 3
⇔
x = 1 mod 2
x = 2 mod 3,
wobei sich die zweite Äquivalenz natürlich einfach durch Reduktion der rechten Seiten modulo
2 bzw. 3 ergibt.
(b) Deutlich nützlicher, aber auch etwas komplizierter ist die Anwendung des Isomorphismus
aus Satz 11.21 ”
in der umgekehrten Richtung“, da wir hierdurch mehrere Gleichungen zu
einer zusammenfassen können: haben wir ein Gleichungssystem der Form
x = a 1 mod n 1
.
bzw. (x,...,x) = (a 1 ,...,a n ) ∈ Z n1 × ··· × Z nk (∗)
x = a k mod n k
und gilt dabei ggt(n i ,n j ) = 1 für i ≠ j, so können wir dieses System durch Anwenden der
Umkehrung des Isomorphismus aus dem chinesischen Restsatz 11.21 von Z n1 × ··· × Z nk
auf Z N mit N = n 1 · ··· · n k übertragen und erhalten die äquivalente Gleichung
x = a ∈ Z N ,
wobei a das im Beweis des Satzes konstruierte Urbild von (a 1 ,...,a n ) ist. Auf diese Art
haben wir das ursprüngliche System von k Gleichungen also auf eine einzige Gleichung
reduziert, deren Lösung sich nun natürlich leicht ablesen lässt.
Fassen wir die Methode zur Bestimmung von a aus Satz 11.21 noch einmal kurz zusammen,
so erhalten wir also das folgende Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems (∗):
• Setze N = n 1 · ··· · n k und N i = N n i
für i = 1,...,k.
• Bestimme das multiplikative Inverse M i von N i in Z ni mit Hilfe des euklidischen Algorithmus
wie in Folgerung 10.33.
• Setze a = ∑ k i=1 a i M i N i .