Algebraische Strukturen

3. Untergruppen 21
genau die Untergruppe ist, die wir bereits in Beispiel 3.5 (a) gesehen haben. In der Tat ist
dies mit dem Kriterium aus Lemma 3.12 sehr schnell überprüft:
(1) Nach Beispiel 3.5 (a) ist {a k : k ∈ Z} eine Untergruppe von G, und natürlich enthält
sie das Element a.
(2) Ist U eine beliebige Untergruppe von G, die a enthält, so muss sie wegen der Abgeschlossenheitskriterien
aus Lemma 3.3 natürlich auch alle Verknüpfungen von a und
a −1 , also alle Potenzen a k mit k ∈ Z enthalten.
Als konkretes Beispiel ist also in (Z,+) (wieder in additiver Schreibweise)
〈n〉 = nZ = {k · n : k ∈ Z}
für alle n ∈ Z. 03
(b) Analog ist die in (R,+) von zwei Zahlen a,b ∈ R erzeugte Untergruppe gleich
〈a,b〉 = {ka + lb : k,l ∈ Z}.
Die Begründung hierfür ist völlig analog zu (a):
(1) Die rechte Seite dieser Gleichung enthält offensichtlich die Zahlen a und b. Sie ist auch
eine Untergruppe von R, denn sie enthält das neutrale Element 0 sowie mit ka + lb
und k ′ a + l ′ b (für k,k ′ ,l,l ′ ∈ Z) auch deren Verknüpfung (k + k ′ )a + (l + l ′ )b und das
Inverse (−k)a + (−l)b.
(2) Ist U eine beliebige Untergruppe von R, die a und b enthält, so muss U natürlich auch
alle Verknüpfungen von a und b und ihren Inversen enthalten, also alle Zahlen der
Form ka + lb mit k,l ∈ Z.
In manchen Fällen ist für die von einer Menge M erzeugte Untergruppe 〈M 〉 auch die folgende
explizite ”
Formel“ nützlich:
Aufgabe 3.14. Es sei M eine Teilmenge einer Gruppe G. Zeige, dass dann
〈M 〉 = {a 1 · ··· · a n : n ∈ N, a i ∈ M oder a −1
i ∈ M für alle i = 1,...,n}
gilt, d. h. dass M aus allen Verknüpfungen besteht, die man aus den Elementen von M und ihren
Inversen bilden kann.
Aufgabe 3.15. Es sei n ∈ N mit n ≥ 3. Zeige, dass
in S n gilt.
〈(1 3),(1 2 3)〉 = {σ ∈ S n : σ(i) = i für alle i ≥ 4}
Aufgabe 3.16 (Diedergruppen). Für eine gegebene Zahl n ∈ N ≥3 betrachten wir die Permutationen
( )
( )
1 2 3 ··· n
1 2 3 ··· n
σ =
und τ =
n 1 2 ··· n − 1
n n − 1 n − 2 ··· 1
in S n . Man zeige:
(a) σ n = τ 2 = id und τσ = σ −1 τ.
(b) τσ k = σ −k τ für alle k ∈ N.
(c) Es ist
〈σ,τ 〉 = {σ k τ l : k = 0,...,n − 1 und l = 0,1},
und diese Untergruppe von S n hat genau 2n Elemente. Wir bezeichnen sie im Folgenden mit
D 2n .
Die Gruppe D 2n hat eine einfache geometrische Interpretation: betrachten wir einmal (wie im Bild
unten links für n = 5 dargestellt) ein regelmäßiges n-Eck in der Ebene, dessen Eckpunkte der Reihe
nach mit den Zahlen 1,...,n bezeichnet sind. Die Permutation σ, aufgefasst als Permutation der
Eckpunkte dieses n-Ecks, entspricht dann genau einer Drehung um den Winkel 2π n
, die Permutation
τ einer Spiegelung.