Algebraische Strukturen

74 Andreas Gathmann
(c) R[t] ist ein Hauptidealring.
Aufgabe 10.43. Es sei K ein Körper. Zeige, dass jedes Ideal I K[[t]] mit I ≠ (0) von der Form (t n )
für ein n ∈ N ist. Insbesondere ist K[[t]] also ein Hauptidealring.
Aufgabe 10.44. Es sei I 0 ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ ··· eine Folge von Idealen in einem Ring R, von denen jedes im
nächsten enthalten ist (man spricht in diesem Fall auch von einer aufsteigenden Kette von Idealen).
Man zeige:
(a) Die Vereinigung ⋃ n∈N I n aller dieser Ideale ist wieder ein Ideal in R.
(b) Ist R ein Hauptidealring, so ist die Kette von Idealen ab einem gewissen Glied konstant, d. h.
es gibt ein n 0 ∈ N mit I n = I n0 für alle n ≥ n 0 .