Algebraische Strukturen

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58 Andreas Gathmann Aufgabe 8.13. Es sei R ein Ring und x ∈ R mit x 2 = x. Man zeige: (a) Das von x erzeugte Ideal (x) ist ein Ring. Was ist das Einselement in (x)? (b) Die Abbildung f : R → (x), f (a) = ax ist ein Ringhomomorphismus. (c) Der Ring (x) ist isomorph zu R/(1 − x).
9. Polynom- und Potenzreihenringe 59 9. POLYNOM- UND POTENZREIHENRINGE Bevor wir mit der allgemeinen Untersuchung von Ringen fortfahren, wollen wir in diesem Kapitel kurz zwei sehr wichtige weitere Beispiele von Ringen einführen, deren Objekte ihr sicher in der einen oder anderen Form schon in den Grundlagen der Mathematik oder auch schon in der Schule gesehen habt: die Polynome, also Ausdrücke der Form a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ··· + a n t n (1) (mit n ∈ N und gegebenen Koeffizienten a n in einem Ring R, z. B. im Ring R der reellen Zahlen), und als ” unendliche Variante“ davon die Potenzreihen, also nicht notwendig abbrechende Summen der Form a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ··· . (2) Vermutlich werdet ihr diese Ausdrücke dabei bisher stets als Funktionen aufgefasst haben, die einer (z. B. reellen) Zahl t die Zahl zuordnen, die eben durch die Formel (1) bzw. (2) gegeben ist. Bei den Potenzreihen muss man dazu natürlich vorher noch überprüfen, dass die Reihe für die eingesetzten Werte von t auch konvergiert. In der Algebra ist die Herangehensweise an Polynome und Potenzreihen etwas anders. Das muss auch so sein, denn in einem allgemeinen Ring R haben wir ja überhaupt keinen Konvergenzbegriff und damit keinerlei Möglichkeit, eine unendliche Summe wie in (2) als Funktion aufzufassen: wenn wir dort für t ein Ringelement einsetzen würden, ergäbe sich lediglich eine (undefinierte) Summe unendlich vieler Elemente aus R. Wir wollen eine Potenzreihe wie in (2) daher in einem beliebigen Ring R als rein formale Summe auffassen, in die wir zunächst einmal keine Werte für t einsetzen können. Der entscheidende Punkt hierbei ist, dass wir solche Potenzreihen trotzdem addieren und multiplizieren können: betrachten wir z. B. die formalen Potenzreihen f = 1 +t +t 2 +t 3 +t 4 +t 5 + ··· und g = 1 −t +t 2 −t 3 +t 4 −t 5 ± ··· , so erscheint es sicher in einem beliebigen Ring sinnvoll, die Summe dieser beiden Reihen einfach formal koeffizientenweise als f + g = 2 + 2t 2 + 2t 4 + ··· zu definieren, selbst wenn man für t eigentlich keine Werte einsetzen und f und g damit nicht als Funktionen ansehen kann. Analog werden wir auch eine Multiplikation von Potenzreihen durch ” formales Ausmultiplizieren“ definieren und die Menge dieser formalen Potenzreihen damit zu einem Ring machen. Bei Polynomen scheint die Situation zunächst etwas anders zu sein, denn in der endlichen Summe (1) könnten wir natürlich in einem beliebigen Ring R Werte für t einsetzen und das Polynom somit tatsächlich als Funktion von R nach R auffassen. Wir werden jedoch z. B. in Beispiel 9.13 und Bemerkung 10.5 sehen, dass es algebraisch viel schöner ist, Polynome dennoch nicht als solche Funktionen, sondern (wie schon bei den Potenzreihen) als formale Ausdrücke der Form (1) zu definieren. In der Tat macht dies in manchen Ringen einen Unterschied: betrachten wir z. B. das Polynom t 2 +t über dem Ring Z 2 , so stellt dieses zwar die Nullfunktion dar (denn es ist 0 2 + 0 = 1 2 + 1 = 0, d. h. jedes Element von Z 2 wird unter der Funktion t ↦→ t 2 + t auf die Null abgebildet), es ist aber als formaler Ausdruck trotzdem nicht das Nullpolynom. Wir wollen die Polynome t 2 + t und 0 über Z 2 daher als verschieden ansehen, auch wenn sie beim Einsetzen von Werten dieselbe Funktion beschreiben. Nach diesen Vorbemerkungen können wir nun damit beginnen, Potenzreihen über einem beliebigen Ring exakt zu definieren. Wie gerade erläutert ist eine solche formale Potenzreihe der Form (2) einfach dadurch gegeben, dass man ihre Koeffizienten a 0 ,a 1 ,a 2 ,... angibt. Dabei gibt es für die Wahl dieser Koeffizienten keinerlei Einschränkungen. Eine Potenzreihe ” ist“ also letztlich einfach diese Folge a 0 ,a 1 ,a 2 ,... in R, d. h. eine Abbildung von N nach R. Definition 9.1 (Potenzreihen). Es sei R ein Ring.
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