Algebraische Strukturen

10. Teilbarkeit in Ringen 65
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Die wichtigste (wenn auch nahezu triviale) Eigenschaft von Integritätsringen ist, dass in ihnen die
Kürzungsregel gilt:
Lemma 10.6 (Kürzungsregel). Es seien R ein Integritätsring und a,b,c ∈ R mit c ≠ 0. Dann gilt
ac = bc genau dann, wenn a = b.
Beweis. Ist ac = bc, so folgt (a−b)c = 0. Da R ein Integritätsring ist und nach Voraussetzung c ≠ 0
gilt, muss a−b = 0 und damit a = b sein. Die umgekehrte Folgerung a = b ⇒ ac = bc ist natürlich
trivial.
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Bemerkung 10.7. Die Kürzungsregel ist in allgemeinen Ringen falsch: in Z 6 ist z. B. 2 · 3 = 0 · 3,
aber 2 ≠ 0.
Wir können nun zur Definition der Teilbarkeit in Ringen kommen.
Definition 10.8 (Teiler). Es seien R ein Integritätsring und a,b ∈ R. Man sagt, dass b ein Teiler
von a ist (in Zeichen: b|a), wenn es ein c ∈ R gibt mit a = b · c. Man sagt dann auch, dass a ein
Vielfaches von b ist.
Beispiel 10.9.
(a) Die Teiler von 4 im Ring Z sind −4, −2, −1, 1, 2 und 4.
(b) In jedem Integritätsring R ist jedes b ∈ R ein Teiler von 0, denn 0 = b · 0. Die Teiler von 1
dagegen sind nach Definition genau die Einheiten von R.
(c) Das Polynom 2t ist im Integritätsring Q[t] ein Teiler von t 2 (denn t 2 = 2t · 12
t), nicht jedoch
in Z[t].
Bemerkung 10.10. Es seien R ein Integritätsring und a,b,c ∈ R.
(a) Gilt c|b und b|a, also b = dc und a = be für d,e ∈ R, so ist auch a = dec, also c|a. Die
Teilbarkeitsrelation ist damit transitiv im Sinne von Definition 5.2 (b). Man schreibt statt
c|b und b|a daher oft auch direkt hintereinander c|b|a.
(b) Gilt c|a und c|b, also a = dc und b = ec für d,e ∈ R, so ist auch a + b = (d + e)c und damit
c|a + b.
Der Begriff der Teilbarkeit hängt sehr eng mit dem des Ideals aus Kapitel 8 zusammen, wie das
folgende Lemma zeigt.
Lemma 10.11. Es seien R ein Integritätsring und a,b ∈ R. Wie in Beispiel 8.8 (a) bezeichne (a) bzw.
(b) das von a bzw. b erzeugte Ideal in R. Dann gilt:
(a) b|a ⇔ (a) ⊂ (b).
(b) b|a und a|b ⇔ (a) = (b) ⇔ es gibt ein c ∈ R ∗ mit a = bc. Man sagt in diesem Fall
auch, dass a und b zueinander assoziiert sind bzw. sich nur um eine Einheit unterscheiden.
Beweis.
(a) Nach Beispiel 8.8 (a) ist (a) = {ax : x ∈ R}. Damit folgt:
⇒“: Ist b|a, so gibt es ein c ∈ R mit a = bc. Damit ist a ∈ (b), nach Lemma 8.6 (b) also
”
auch (a) ⊂ (b).
⇐“: Es sei (a) ⊂ (b). Insbesondere ist dann a ∈ (b), also a = bc für ein c ∈ R. Damit gilt
”
b|a.
(b) Die erste Äquivalenz ergibt sich natürlich sofort aus (a). Wir zeigen noch die Äquivalenz der
ersten zur dritten Aussage.