Algebraische Strukturen

10. Teilbarkeit in Ringen 71
Dazu setzen wir also a 0 = 11 und a 1 = 9 und berechnen wie rechts
dargestellt die Folge a n . Für n ≥ 2 entsteht a n einfach dadurch, dass
man den Rest der Division von a n−2 durch a n−1 hinschreibt. Die letzte
Zahl ungleich Null ist hierbei a 3 = 1, d. h. 1 ist ein größter gemeinsamer
Teiler von 11 und 9.
Wollen wir diesen größten gemeinsamen Teiler 1 als Linearkombination
von 11 und 9 schreiben, so machen wir dies gemäß dem Beweis
von Satz 10.25 (c) durch Rückwärtseinsetzen: die letzte nicht aufgehende
Division liefert uns
1 = 1 · 9 − 4 · 2,
a 0 = 11
a 1 = 9
a 2 = 2
a 3 = 1
a 4 = 0
11 = 1 · 9 + 2
9 = 4 · 2 + 1
2 = 2 · 1 + 0
d. h. 1 als Linearkombination der Zahlen a 1 = 9 und a 2 = 2. Die Division dadrüber liefert genauso
2 = 1 · 11 − 1 · 9, und Einsetzen ergibt damit die gesuchte Linearkombination
1 = 1 · 9 − 4 · (1 · 11 − 1 · 9) = (−4) · 11 + 5 · 9.
Bemerkung 10.27. Der euklidische Algorithmus besagt natürlich insbesondere, dass in euklidischen
Ringen (also z. B. in Z und in dem Polynomring über einem Körper, siehe Satz 10.23) stets ein
größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente existiert. Fassen wir also die Ergebnisse dieses Kapitels
zur Existenz und Eindeutigkeit von größten gemeinsamen Teilern sowie zusammen, so sehen wir
also:
In einem euklidischen Ring existiert zu je zwei Elementen stets ein größter gemeinsamer
Teiler. Er ist bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig bestimmt und kann
mit dem euklidischen Algorithmus berechnet werden.
Notation 10.28 (ggT und ggt). In den für uns wichtigsten Fällen von euklidischen Ringen können
wir die Nichteindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in Bemerkung 10.27 leicht durch eine
Konvention beseitigen:
(a) Im Ring R = Z ist die Einheitengruppe Z ∗ = {1,−1}. In diesem Fall besitzen zwei beliebige
ganze Zahlen m,n ∈ Z also stets einen eindeutigen nicht-negativen größten gemeinsamen
Teiler, den wir im Folgenden mit ggt(m,n) ∈ Z bezeichnen werden — im Unterschied zur
Menge ggT(m,n) = {ggt(m,n),−ggt(m,n)} ⊂ Z.
(b) Im Polynomring R = K[t] über einem Körper K ist K[t] ∗ = K ∗ = K\{0} nach Lemma 10.3
(c), d. h. der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome ist eindeutig bis auf Multiplikation
mit einer Konstanten ungleich 0. In diesem Fall existiert zu zwei Polynomen f ,g ∈ K[t],
die nicht beide gleich Null sind, also stets ein eindeutiger normierter größter gemeinsamer
Teiler, den wir wieder mit ggt( f ,g) ∈ K[t] bezeichnen.
Aufgabe 10.29.
(a) Berechne alle größten gemeinsamen Teiler der Polynome f = t 5 +t + 1 und g = t 4 +t 2 + 1
in Z 2 [t] und stelle diese in der Form a f + bg mit a,b ∈ Z 2 [t] dar.
(b) Die reelle Funktion f : R → R, f (x) = x 4 +2x 3 −x 2 −2x+2 besitzt an einer Stelle x 0 > 0 ein
lokales Minimum mit Funktionswert f (x 0 ) = 1. Berechne diese Stelle x 0 . (Die Ergebnisse
über lokale Extrema reeller Funktionen aus den Grundlagen der Mathematik dürfen hierbei
natürlich verwendet werden. Gesucht ist die exakte Lösung und nicht eine Näherung!)
Aufgabe 10.30. Zeige, dass der Ring Z[i] = {a + ib : a,b ∈ Z} (siehe Aufgabe 7.21 (a)) mit der
Funktion δ(z) := |z| 2 ein euklidischer Ring ist.
Ist der Ring Z[ √ 5i] ebenfalls ein euklidischer Ring?
Aufgabe 10.31. Zeige, dass für alle q,m,n ∈ N >0 mit q ≠ 1 gilt, dass
ggt(q m − 1,q n − 1) = q ggt(m,n) − 1.