Algebraische Strukturen

10. Teilbarkeit in Ringen 73
auch als von einem Element erzeugt schreiben: man muss nur fortlaufend zwei Erzeuger durch einen
größten gemeinsamen Teiler von ihnen ersetzt.
Ideale, die von nur einem Element erzeugt werden können, haben nach Beispiel 8.8 (a) natürlich eine
sehr einfache Darstellung: sie bestehen gerade aus den Vielfachen dieses einen Elementes. Derartige
Ideale haben daher einen besonderen Namen:
Definition 10.37 (Hauptideale). Es sei R ein Integritätsring.
(a) Ein Ideal der Form (a) für ein a ∈ R (also eines, das von nur einem Element erzeugt werden
kann) nennt man ein Hauptideal.
(b) Man bezeichnet R als einen Hauptidealring, wenn jedes Ideal in R ein Hauptideal ist.
Nach Bemerkung 10.36 ist in einem euklidischen Ring R also jedes Ideal, das von endlich vielen
Elementen erzeugt werden kann, ein Hauptideal. Beachte, dass dies noch nicht besagt, dass R auch
ein Hauptidealring ist, da ein Ideal ja nicht notwendig von endlich vielen Elementen erzeugt werden
muss. Dennoch ist diese Aussage richtig — wir benötigen nur einen anderen Beweis dafür:
Satz 10.38. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Beweis. Es sei I ein Ideal in einem euklidischen Ring R. Ist I = {0}, so sind wir offensichtlich fertig,
denn dann ist ja I = (0). Andernfalls wählen wir ein Element g ∈ I\{0}, für das die euklidische
Funktion δ minimal ist — ein solches Element existiert in jedem Fall, da δ ja nur natürliche Zahlen
als Werte annimmt und jede nicht-leere Menge natürlicher Zahlen ein Minimum besitzt.
Wir behaupten nun, dass I = (g) gilt und I somit ein Hauptideal ist. Die Inklusion I ⊃ (g) ist dabei
wegen g ∈ I klar nach Lemma 8.6 (b). Für die umgekehrte Inklusion I ⊂ (g) sei a ∈ I beliebig. Wir
dividieren a gemäß Definition 10.21 mit Rest durch g und erhalten
a = qg + r
für gewisse q,r ∈ R mit r = 0 oder δ(r) < δ(g). Wegen a ∈ I und g ∈ I ist nun aber auch r = a−qg ∈ I
nach Definition 8.1. Da g ein Element mit minimaler euklidischer Funktion in I war, kann also nicht
δ(r) < δ(g) gelten. Damit ist notwendigerweise r = 0, und mit (∗) folgt a = qg ∈ (g). □
Bemerkung 10.39. In der Tat zeigt der Beweis von Satz 10.38 auch, wie man ein gegebenes Ideal I
in einem euklidischen Ring R als Hauptideal schreiben kann: es gilt stets I = (g) für ein beliebiges
g ∈ I\{0} mit minimaler euklidischer Funktion.
Beispiel 10.40. Betrachten wir das von zwei Elementen erzeugte Ideal I = (4,6) Z, so können
wir jetzt auf zwei verschiedene Arten sehen, dass sich dieses Ideal auch einfacher als Hauptideal
schreiben lässt:
(a) Wegen ggt(4,6) = 2 ist I = (2) nach Lemma 10.35.
(b) Nach Definition 8.5 ist I = {4n + 6m : n,m ∈ Z}. Offensichtlich liegt weder 1 noch −1 in I,
da jedes Element von I eine gerade Zahl ist. Andererseits ist aber 2 = 2 · 4 − 1 · 6 ∈ I. Also
ist 2 ein Element mit minimalem Betrag in I\{0}. Da der Betrag im Ring Z nach Beispiel
10.22 ja als euklidische Funktion gewählt werden kann, folgt also auch hieraus I = (2) mit
Bemerkung 10.39.
Aufgabe 10.41. Betrachte noch einmal die Polynome f = t 5 +t + 1 und g = t 4 +t 2 + 1 in Z 2 [t] aus
Aufgabe 10.29 (a).
Liegt das Polynom t 3 +t 2 in dem von f und g erzeugten Ideal ( f ,g)?
Aufgabe 10.42. Es sei R ein Integritätsring. Zeige, dass dann die folgenden drei Aussagen äquivalent
sind:
(a) R ist ein Körper.
(b) R[t] ist ein euklidischer Ring.
(∗)