Algebraische Strukturen

64 Andreas Gathmann
10. TEILBARKEIT IN RINGEN
Ein wichtiges Konzept in Ringen, das ihr für den Fall des Ringes Z bereits aus der Schule kennt,
ist das von Teilern — also der Frage, wann und wie man ein Ringelement als Produkt von zwei
anderen schreiben kann. Dies wollen wir jetzt in allgemeinen Ringen untersuchen, wobei die Polynomringe
über Körpern letztlich neben Z die wichtigsten Anwendungsbeispiele sein werden. Um
die Theorie dazu nicht zu kompliziert werden zu lassen, wollen wir uns dabei auf den Fall von Ringen
beschränken, bei denen bei einem Produkt von zwei Elementen nur dann 0 herauskommen kann,
wenn schon einer der beiden Faktoren 0 war.
Definition 10.1 (Integritätsringe). Ein Ring R heißt Integritätsring, wenn er außer der Null keine
Nullteiler besitzt, d. h. wenn für alle a,b ∈ R gilt: ist ab = 0, so ist bereits a = 0 oder b = 0.
Beispiel 10.2.
(a) Nach Lemma 7.9 (c) ist jeder Körper (also z. B. Q, R, C oder Z p für eine Primzahl p) ein
Integritätsring.
(b) Jeder Unterring eines Integritätsrings (also z. B. Z als Unterring von Q) ist offensichtlich
wieder ein Integritätsring.
(c) Ist n ∈ N >1 keine Primzahl, so ist Z n kein Integritätsring, denn wenn wir n = p · q mit 1 ≤
p,q < n schreiben können, so ist zwar p,q ≠ 0, aber p · q = n = 0.
Ein weiteres wichtiges Beispiel für Integritätsringe sind Polynomringe über einem Integritätsring.
Lemma 10.3. Für jeden Integritätsring R gilt:
(a) (Gradformel) Für f ,g ∈ R[t] ist deg( f · g) = deg f + degg, d. h. in Lemma 9.7 (a) steht bei
der Multiplikation von Polynomen stets die Gleichheit.
(b) R[t] ist ein Integritätsring.
(c) Die Einheitengruppe des Polynomrings über R ist R[t] ∗ = R ∗ , besteht also genau aus den
konstanten Polynomen mit Wert in R ∗ .
Beweis.
(a) Für f = 0 oder g = 0 ist die Formel wegen deg0 = −∞ trivialerweise richtig. Ist ansonsten
n = deg f und m = degg, so können wir f und g als
f = a n t n + ··· + a 1 t + a 0 und g = b m t m + ··· + b 1 t + b 0
mit a n ,b m ≠ 0 schreiben. Damit ist
f · g = a n b m t n+m + (Terme mit niedrigeren Potenzen von t).
Da R ein Integritätsring ist, folgt nun a n b m ≠ 0 und damit deg( f ·g) = n+m = deg f +degg.
(b) Sind f ,g ≠ 0, also deg f ,degg ≥ 0, so ist nach (a) auch deg( f · g) ≥ 0 und damit f · g ≠ 0.
(c) Offensichtlich ist jede Einheit von R auch eine von R[t]. Ist umgekehrt f ∈ R[t] ∗ , so gibt
es ein g ∈ R[t] mit f · g = 1. Aus der Gradformel (a) folgt daraus deg f + degg = 0, also
deg f = degg = 0. Damit liegen f = a 0 und g = b 0 in R, und wegen f · g = a 0 · b 0 = 1 muss
sogar f = a 0 ∈ R ∗ gelten.
□
Aufgabe 10.4. Ist der Potenzreihenring R[[t]] über einem Integritätsring R ebenfalls wieder ein Integritätsring?
Bemerkung 10.5. Beachte, dass die analoge Aussage von Lemma 10.3 für Polynomfunktionen falsch
wäre: betrachten wir noch einmal die Polynomfunktion t ↦→ t 2 + t = t(t + 1) über Z 2 aus Beispiel
9.13, so ist diese ja die Nullfunktion — wir können sie aber auch als Produkt der beiden Polynomfunktionen
t ↦→ t und t ↦→ t +1 schreiben, die beide nicht die Nullfunktion sind. Die Polynomfunktionen
über einem Integritätsring bilden also in der Regel nicht wieder einen Integritätsring. Dies zeigt
erneut, dass Polynome aus algebraischer Sicht die ”
schöneren“ Objekte sind als Polynomfunktionen.