Algebraische Strukturen

72 Andreas Gathmann
Bemerkung 10.32. Nach dem euklidischen Algorithmus aus Satz 10.25 lässt sich von zwei Elementen
a,b eines euklidischen Ringes R stets ein größter gemeinsamer Teiler g bestimmen und als
Linearkombination g = d · a + e · b der Ausgangselemente mit d,e ∈ R schreiben. Beachte, dass sich
dann auch jeder größte gemeinsame Teiler von a und b als derartige Linearkombination schreiben
lässt: jeder solche größte gemeinsame Teiler ist ja nach Satz 10.16 von der Form cg für ein c ∈ R ∗
und kann damit natürlich als cg = cd · a + ce · b geschrieben werden.
Eine sehr wichtige Anwendung des euklidischen Algorithmus ist, dass wir mit seiner Hilfe multiplikative
Inverse in den Ringen Z n konkret berechnen können. Bisher hatten wir hierzu ja nur in Satz
7.11 gesehen, dass in Z n für eine Primzahl n jedes Element ungleich 0 ein multiplikatives Inverses
besitzt — wussten aber noch nicht, wie wir dieses ohne Ausprobieren bestimmen können.
Folgerung 10.33 (Inversenberechnung in Z n ). Es sei n ∈ N >1 und k ∈ Z. Dann gilt
k ∈ Z ∗ n ⇔ ggt(k,n) = 1.
Schreiben wir in diesem Fall mit dem euklidischen Algorithmus 1 = dk + en gemäß Bemerkung
10.32, so ist weiterhin k −1 = d in Z ∗ n.
Beweis.
” ⇒“ Ist k eine Einheit in Z n, so gibt es ein d ∈ Z mit d · k = 1. Es ist also 1 − dk ∈ nZ und damit
dk + en = 1 für ein e ∈ Z. Ist nun c ein gemeinsamer Teiler von k und n, so teilt c nach
Bemerkung 10.10 (b) damit auch die Zahl dk + en = 1 und muss also gleich 1 oder −1 sein.
Der (positive) größte gemeinsame Teiler von k und n ist also gleich 1.
⇐“ Ist ggt(k,n) = 1, so können wir (nach Bemerkung 10.32) dk + en = 1 für gewisse d,e ∈ Z
”
schreiben. Durch Übergang zu den Restklassen in Z n erhalten wir daraus 1 = d k+en, wegen
n = 0 also d k = 1 und damit k −1 = d.
□
Beispiel 10.34. Aus dem Ergebnis 1 = (−4)·11+5·9 von Beispiel 10.26 erhalten wir sofort 5 −1 =
9 ∈ Z 11 .
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir nun noch sehen, wie man mit Hilfe von größten gemeinsamen
Teilern Ideale, die durch mehrere Elemente erzeugt werden, einfacher schreiben kann.
Lemma 10.35. Es seien R ein euklidischer Ring, a,b ∈ R und g ein größter gemeinsamer Teiler von
a und b. Dann ist
(a,b) = (g)
(wobei (a,b) und (g) wie in Definition 8.5 die von den Elementen a und b bzw. g erzeugten Ideale
bezeichnen).
Beweis. Wir zeigen die beiden Inklusionen der behaupteten Gleichheit separat.
⊂“ Wegen g|a gilt (a) ⊂ (g) nach Lemma 10.11 und damit insbesondere a ∈ (g). Genauso folgt
”
b ∈ (g). Das Ideal (g) enthält also die Menge {a,b} und nach Lemma 8.6 (b) damit auch das
davon erzeugte Ideal (a,b).
⊃“ Nach Bemerkung 10.32 können wir g = da + eb für gewisse d,e ∈ R schreiben. Also ist
”
g ∈ (a,b) nach Definition 8.5 und damit auch (g) ⊂ (a,b) nach Lemma 8.6 (b). □
Bemerkung 10.36. Die Aussage von Lemma 10.35 lässt sich leicht verallgemeinern: ist R ein euklidischer
Ring und sind a 1 ,...,a n ∈ R sowie g ∈ ggT(a 1 ,a 2 ), so gilt
(a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ) = (g,a 3 ,...,a n )
mit dem gleichen Beweis wie in Lemma 10.35. Ist R ein euklidischer Ring, in dem nach Satz 10.25
ja zu zwei beliebigen Elementen stets ein größter gemeinsamer Teiler existiert, so kann man dieses
Verfahren also rekursiv anwenden und jedes Ideal, das von endlich vielen Elementen erzeugt wird,