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stellen, welche Nachfolger der Knoten i hat. Möchte man aber testen, ob eine Verbindung
zwischen dem i-ten und dem j-ten Knoten existiert, so reicht eine Anfrage.
Einer der größten Nachteile dieser Repräsentation ist allerdings, dass man auf einem
klassischen Einprozessor-System minimal O(n 2 ) Schritte benötigt, wenn ein Problem
mit der Matrizendarstellung arbeitet und einen Großteil des Graphen betrachten muss.
Im Laufe dieser Arbeit wird deutlich werden, dass es nicht möglich ist, diesen Aufwand zu
minimieren. Allerdings ist es möglich, Teile des Aufwands auf die Hardware zu verlagern
und so einen Speed-Up zu erzielen.
Diese Aussage wird am Beispiel des Warshall-Algorithmus noch deutlicher werden, wobei
klar sein sollte, dass ein Aufwand von O(n) bedeutet, dass der Algorithmus eine Laufzeit
von O(n) hat, falls nicht explizit etwas anderes erwähnt wird.
3.1. Erkennung von zusammenhängenden Komponenten
eines Graphen
In vielen Aufgabenstellungen aus der Praxis ist es wichtig, zu erkennen, ob Komponenten
eines Graphen zusammenhängen. So möchte man z. B. effizient testen, ob alle Computer
eines Netzwerks verbunden sind.
Auf einem Rechner mit einem Prozessor kann man hier u. a. den Warshall-Algorithmus
anwenden, welcher die transitive Hülle berechnet und somit die Erreichbarkeitsmatrix
liefert. Dabei steht eine 1 in Zeile A und Spalte B der Matrix immer dafür, dass es einen
Weg zwischen dem Punkt A und dem Punkt B gibt, eine 0 dementsprechend dafür, dass
kein Weg existiert. Der Algorithmus von Warshall benötigt auf einem Einprozessor-
System eine Laufzeit von O(n 3 ). Im folgenden Abschnitt wird schrittweise hergeleitet,
wie man den Warshall-Algorithmus auf dem GCA modellieren kann und wie es möglich
ist, eine Laufzeit von O(n) zu erreichen.
3.1.1. Der Warshall-Algorithmus
Der Warshall-Algorithmus ist eine Spezialisierung des Kleene-Algorithmus und je nach
Literatur berechnet er die reflexive-transitive-Hülle 1 oder nur die transitive Hülle 2 . Ein
Vorteil der Berechnung der reinen transitiven Hülle ist, dass man sehr leicht mit dem
Warshall-Algorithmus testen kann, ob ein Graph Zyklen enthält.
Da es für die Erkennung von zusammenhängenden Komponenten irrelevant ist, ob die
Hülle reflexiv ist oder nicht, wird im weiteren der Warshall-Algorithmus verwendet,
1 Bei der reflexiven Hülle existiert von jedem Knoten eine Verbindung zu sich selber. Auf der Diagonalen
stehen also nur Einsen. Die reflexive-transitive Hülle erfüllt die Bedingung der reflexiven Hülle
zusätzlich zu den Bedingungen der transitiven Hülle.
2 Hier steht auf der Diagonale nur dann eine 1, wenn es von dem Knoten aus möglich ist, wieder zu
dem Knoten zu kommen
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