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Abbildung 3.14.: Eine Möglichkeit, aus n Werten in log(n) Schritten das Minimum zu
finden. Die Prozessoren vergleichen mit ihrem Nachbarn und speichern
das Minimum ab. Danach wird der Nachbar umgesetzt. Das Minimum
steht nach der Ausführung immer an erster Stelle.
Wendet man statt der Doubling-Technik die modifizierte Balanced-Binary-Tree-Technik 7
an, dann reichen
n Prozessoren pro Spalte und dabei wird eine Laufzeit von O(log(n))
log(n)
garantiert. Insgesamt benötigt der erste Schritt dann eine Laufzeit von O(log(n)) und
O( n2 ) Prozessoren. Im Folgenden soll zuerst die Balanced-Binary-Tree-Technik vorgestellt
werden und dann wird dargestellt, wie man die Anzahl der Prozessoren dahinge-
log(n)
n
hend verändern kann, dass man mit O( ) Prozessoren die gleiche Laufzeitkomplexität
log(n)
erreicht.
Bei der Balanced-Binary-Tree-Technik [Abbildung 3.15] hält jede Zelle zwei Werte der
Matrixspalte aus 1(a) und bildet hieraus das Minimum.
Es berechnen also n−1 Prozessoren parallel das Minimum ihrer Werte. Jede Zelle hat in
diesem Modell eine Vaterzelle und jede Vaterzelle hat zwei Kindzellen, was dazu führt,
dass die Balanced-Binary-Tree-Technik immer n = 2 m Werte erwartet (ist dies nicht
der Fall, müssen Dummy-Einträge ergänzt werden, bis die Bedingung erfüllt ist). Die
Vaterzelle bestimmt nun das Minimum der Kindzellen und liefert diesen Wert an seine
Vaterzelle weiter. Insgesamt halbiert sich die Anzahl der Zellen auf jeder Stufe, bis in
der Spitze nur noch eine Zelle existiert, die Wurzel. Nachdem diese Wurzelzelle ihrerseits
das Minimum gebildet hat, kann der korrekte Wert aus der Wurzel ausgelesen werden.
Die Laufzeitkomplexität entspricht nun der maximalen Weglänge von der Wurzel zu
einem Blatt, was in einem vollständigen Binärbaum log(n) ist. Wie bei der Doubling-
Technik werden hier jedoch O(n) Prozessoren oder Zellen pro Spalte benötigt, was zu
einer Gesamtzahl von O(n 2 ) benötigten Zellen führt.
7 Ein Beispiel für die Balanced-Binary-Tree-Technik wird gegeben. Eine genaue Beschreibung findet
sich im Anhang.
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