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Da nun alle Knoten auf Knoten 1 zeigen, kann man erkennen, dass es eine große zusammenhängende
Komponente im Graphen gibt, mit andern Worten, der Graph ist
zusammenhängend. Der Algorithmus wird die fünf Teilschritte noch einmal durchlaufen,
da log 2 (8) = 3. Es wird sich jedoch nichts mehr ändern, da keine Verbindung zu
einer anderen Komponente mehr gefunden werden kann. Das Beispiel kann also hier als
abgeschlossen betrachtet werden. Das Endergebnis wird in Abbildung 3.13 graphisch
dargestellt. Bei einem nicht zusammenhängenden Graphen würden nach Terminierung
des Algorithmus im Vektor C mindestens zwei unterschiedliche Repräsentanten stehen.
Man kann direkt aus dem Vektor auslesen, wie groß die Komponenten sind und welche
Knoten zu ihnen gehören.
Abbildung 3.13.: Ergebnis nach dem fünften Schritt des zweiten Durchlaufs. Um Verwirrung
aufgrund von Kantenüberschneidungen zu vermeiden, wurden
auch hier die Position der Knoten teilweise variiert.
3.1.3.2. Komplexitätsbetrachtung auf der P-RAM
Der Algorithmus benötigt, so wie er vorgestellt wurde, eine Laufzeit von
O(log 2 (n)) bei der Benutzung von O( n2 ) Prozessoren. In diesem Abschnitt soll verdeutlicht
werden, dass diese Abschätzung gerechtfertigt
log(n)
ist.
Da die fünf Teilschritte (im Folgenden nur noch Schritte genannt) des Algorithmus
log(n)-mal wiederholt werden, darf jeder Schritt nicht mehr als eine Laufzeit von
O(log(n)) haben, damit die Gesamtlaufzeit von O(log 2 (n)) erfüllt ist. Die Aufgabe dieses
Abschnitts ist es also, für jeden Schritt darzulegen, dass er wirklich in O(log(n)) Zeit
ablaufen kann.
Für den ersten Schritt ist nicht offensichtlich, dass er in O(log(n)) ausführbar ist. Immerhin
müssen potentiell n Werte bestimmt und daraus das Minimum gebildet werden.
Um diesen Schritt in der gewünschten Zeit ausführen zu können, muss man geschickt
zusätzliche Prozessoren einsetzen. In [GR98] wird der erste Schritt in drei Teilschritte
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