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Trotz dieser Verbesserung spart man im worst-case nur einen Durchlauf der inneren
Schleife und somit ist der Aufwand auf O(n 3 ) abzuschätzen. Da der best-case (die innere
Schleife wird so selten wie möglich durchlaufen, das bedeutet, nur auf der Diagonalen
stehen Einser) sehr unwahrscheinlich ist, wäre nur noch der average-case interessant. In
der Regel wird man eine Zeile ca. zur Hälte mit Einsen befüllt haben. Daraus folgt, dass
man ca. die Hälfte der inneren Schleifendurchläufe einsparen kann. Dies ergibt dann
eine Laufzeit von O(n 2 × n 2 ), was aber in der O-Notation wieder auf O(n3 ) abgeschätzt
wird. Diese Modifikation bringt also einen Laufzeitgewinn, aber die Laufzeitkomplexität
ändert sich dadurch nicht.
3.1.1.2. Der Warshall-Algorithmus auf dem GCA
Um einen Algorithmus auf einem parallelen Modell wie dem GCA effizient zu modellieren,
muss zunächst hergeleitet werden, welche Schritte parallelisierbar sind:
Bei dem Warshall-Algorithmus ist ersichtlich, dass die Herleitung der Verbindungen der
Länge 2 jeweils nur von dem Startknoten und dem Transitknoten abhängig sind. Alle
anderen Knoten werden an dieser Stelle ignoriert. Also kann man alle Knoten parallel
als Startknoten betrachten und die Verbindungsmöglichkeiten testen. Hierfür benötigt
man O(n) Prozessoren, um wirklich alle Knoten parallel abzuarbeiten.
Eine weitere Möglichkeit zur Parallelisierung bietet sich für jeden Knoten bei der Herstellung
der Verbindungen an sich. Im Normalfall wird zuerst überprüft, ob der Startknoten
eine Verbindung zum Transitknoten hat, und falls dies der Fall ist, wird für jeden anderen
Knoten geprüft, ob es nun eine Verbindung zu ihm gibt oder schon früher gab. Parallelisiert
man diesen Vorgang, so werden die Verbindungen zu allen Knoten ausgehend von
einem festem Startknoten und einem festen Transitknoten gleichzeitig gesucht.
Modelliert man nun diese Parallelisierungsvorschläge auf dem GCA, so äußert sich das
folgendermaßen:
• Um bei einem gegebenem Transitknoten alle Knoten parallel als Startknoten abzuarbeiten,
muss dafür gesorgt werden, dass jede Zeile der Matrix durch eine Zelle
repräsentiert wird [3.2]. Die Zellen können alle parallel arbeiten und garantieren
so die gewünschte Parallelität. Da nur ein lesender Zugriff auf die Zelle, welche
den Transitknoten repräsentiert, nötig ist, ist diese Art der Modellierung mit den
Bedingungen des GCA konform.
• Um bei einem gegebenem Transitknoten und einem gegebenem Startknoten alle
Verbindungen parallel zu prüfen und zu modifizieren, gibt es zwei Möglichkeiten:
Bei der ersten Möglichkeit wird jeder einzelne Eintrag einer Zeile durch eine Zelle
repräsentiert. Es werden also n 2 Zellen benötigt. Eines der dabei auftretenden
Probleme ist, dass die Zellen feststellen müssen, mit welchen anderen Zellen sie zu
kommunizieren haben. Da eine Zeile durch mehrere Zellen repräsentiert wird, ist
einerseits auf die Zelle der eigenen Zeile lesend zuzugreifen, welche die Verbindung
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