3. Kapitel

106 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWPBeachte hierbei die Konvention, daß V n−1 k ebenso wie V n−1 C n−1 als Konkatenationen (undnicht als Produkte) zu lesen sind, also als (V n−1 ,k) bzw. (V n−1 ,C n−1 ).In Worten läßt sich die Konstruktion wie folgt beschreiben: Wir starten wieder mit ∅ alseinzigem Individuum (Urahnen) in der 0-ten Generation, das zugleich die 0-te Komponente V 0des Rückgrats bildet. Dieses Individuum bekommt eine zufällige Anzahl ̂X0 ≥ 1von Kindern.Aus diesen wird zufällig gemäß einer entsprechenden Laplace-Verteilung (vermöge C 0 ) die ersteKomponente V 1 des Rückgrats ausgewählt. Dieses Individuum V 1 reproduziert sich gemäß dergrößenverzerrten Reproduktionsverteilung (̂p j ) j≥0 und generiert ̂X 1 Nachfahren, während dierestlichen Individuen der ersten Generation ĜW 1 voneinander unabhängig Kinder gemäß derReproduktionsverteilung (p j ) j≥0 hervorbringen. So fortfahrend, wird V n zufällig aus den ̂X n−1Kindern von V n−1 ausgewählt und produziert Nachfahren gemäß (̂p j ) j≥0 ; alle Individuen, dienicht zu V gehören, erzeugen Kinder wie im gewöhnlichen GWB. Insgesamt erhalten wir somiteinen zufälligen Baum ĜW ,indem eine aufsteigende Folge von Knoten (V n ) n≥0 , das Rückgrat,besonders ausgezeichnet ist. Der Terminus ”aufsteigend” bedeutet hier, daß in jeder Generationgenau ein Individuum ausgewählt wird. Die untere Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einemgrößenverzerrten GWB, in dem die Rückgratkomponenten (Wirbel), nämlich V 0 = ∅,V 1 =3,V 2 =31und V 3 = 312, als schwarze Kästchen () und die übrigen Knoten als graue Kreisemit anhängenden gewöhnlichen GWB dargestellt sind.∅GWGWGWGWGWBild 3.1. Ausschnitt aus einem größenverzerrten GWBWegen P( ̂X n =0)=0für n ≥ 0 gilt offenbar |ĜW | = ∞ f.s., die durch ĜW beschriebenePopulation kann also im Gegensatz zu der eines gewöhnlichen GWB’s niemals aussterben.Die obige Konstruktion liefert uns eine Abbildung(ĜW ,V ):Ω → T × ∂Vmit∂V def= { (v j ) j≥0 : v j ∈ N j und v j+1 ≽ v j für j ≥ 0 } .