3. Kapitel

110 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWPAuf dieses Ergebnis wenden wir nun erst die Induktionsvoraussetzung und dann Teil (a) anund erhalten( )̂Q ∗ [τ; ϱ]n+1 = µ −1 p k µ −n Q ( [Θ i τ i ) ∏] n Q ( [Θ j τ j )] n= µ −(n+1) Q ( )[τ] n+1 ,was den Beweis von (3.8) beschließt.(c) Hier ergibt sich mittels Teil (b) für alle τ ∈ T und n ≥ 0̂Q ( ) (ĜW )[τ] n = P ∈ [τ]n= ∑ P(ĜW ∈ [τ] n ,V n = ϱ )ϱ∈τ n= ∑ ( )̂Q∗ [τ; ϱ]nϱ∈τ n= ∑ µ −n Q ( )[τ] nϱ∈τ n= w n (τ) Q ( )[τ] n .j≠i(d) Mit (c) folgt schließlich für k ≥ 1P(Ẑn = k) ===∑τ∈T n :z n (τ)=k∑τ∈T n :z n (τ)=k∑τ∈T n :z n (τ)=k̂Q ( [τ] n)w n (τ) Q ( [τ] n)kµ n Q( )[τ] n= k P(Z n = k)µ n . ♦3.8. Bemerkungen. (a) Unter Verwendung der Teile (b) und (c) des Vergleichslemmas3.7 läßt sich das anschaulich evidente Ergebnis zeigen, daß, gegeben ĜW n = {ϱ 1 , ..., ϱ p } fürein p ≥ 1, die Rückgratkomponente V n eine Laplace-Verteilung auf dieser Menge besitzt (☞Übung 3.6), was aber im weiteren Verlauf nicht ausdrücklich benötigt wird.(b) Hinsichtlich der am Anfang dieses Unterabschnitts angesprochenen Frage, wann ̂Qdurch das Galton-Watson-Maß Q dominiert wird, gibt das Vergleichslemma noch keine vollständigeAuskunft, zeigt aber immerhin, daß für alle τ ∈ T und n ≥ 0̂Q ( [τ] n)= wn (τ) Q ( [τ] n)=∫[τ] nw n (χ) Q(dχ)gilt, weil w n auf [τ] n konstant ist. Wir belassen es hier bei dieser Feststellung und kehren imneuen Beweis des Satzes von Kesten, Stigum (☞ Satz 5.2) auf diesen Sachverhalt zurück.