3. Kapitel

6. Zum Grenzverhalten subkritischer GWP 127Da das Ereignis {H n ≠ Z n } = ∑ i≥1 {ϱ n = i, H n ≠ Z n } in der Form{∑ ∑ ∑i−1Z 1 = j, Z n−1 (u) =0,Z n−1 (i) > 0,i≥1 j≥iu=1j∑u=i+1geschrieben werden kann, zeigt eine erneute Anwendung von Satz 2.3Z n−1 (u) > 0‖P n − P n−1 ‖ ≤ P(H n ≠ Z n |Z n > 0)= P(Z n−1 > 0) ∑ ∑p j P(Z n−1 =0) i−1( 1 − P(Z n−1 =0) j−i) .P(Z n > 0)i≥1 j≥i}Setzen wirα(k) def= min{n ≥ 1:P(Z n > 0) < 1/k}, k ≥ 1,und beachten, daß δ def= sup n≥1P(Z n−1 >0)P(Z n >0)< ∞ wegenP(Z n > 0)P(Z n−1 > 0) = E(1 − pZ n−10 |Z n−1 > 0) ≥ 1 − p 0für alle n ≥ 1 gilt, so gelangen wir durch geeignete Umordnung zu der Abschätzungwobei∑‖P n − P n−1 ‖ ≤ δ ∑ ∑ ∑p j P(Z n =0) i−1( 1 − P(Z n =0) j−i) = δ(I 1 + I 2 ),n≥1 n≥0 i≥1 j≥iI 1I 2def= ∑ j≥1def= ∑ p jj≥1α(j)−1∑p jn=0∑j∑P(Z n =0) i−1( 1 − P(Z n =0) j−i)i=1n≥α(j) i=1j∑P(Z n =0) i−1( 1 − P(Z n =0) j−i) .undDie Terme I 1 und I 2 werden nun getrennt abgeschätzt. Unter Benutzung der aus der Monotonieder c n resultierenden UngleichungP(Z α(k)−1 > 0) ≤ µ α(k)−1−n P(Z n > 0)für 0 ≤ n 0)