3. Kapitel

4. Zum Grenzverhalten nichtkritischer GWPI: Ein probabilistischer Zugang 117Beweis: Wäre die auftretende Reihe divergent, so folgte aus der Unabhängigkeit derA nk der Widerspruch( )1 = P lim infn→∞ Bc n( ⋂k j)= lim P ⋂A c jkn→∞= lim∏j≥n k=1k j∏n→∞j≥n k=1(= lim expn→∞≤(lim expn→∞(1 − P(Ajk ) )k j− ∑ ∑log ( 1 − P(A jk ) ))j≥n k=1− ∑ k j)∑P(A jk ) = 0. ♦j≥nk=1Mithilfe dieses Lemmas zeigen wir nun (vgl. Korollar II.3.3)4.7. Satz (Heathcote). Für einen subkritischen GWPI (Y n ) n≥0 mit Immigrationsfolge(ζ n ) n≥1 und p 0 < 1 gelten die folgenden Aussagen:(a) Ist E log + ζ 1 < ∞, sokonvergiert Y n in Verteilung gegen eine Zufallsgröße Y ∞ .(b) Gilt dagegen E log + ζ 1 = ∞, sokonvergiert Y n nach Wahrscheinlichkeit gegen ∞, d.h.für alle t>0.lim P(Y n >t) = 1n→∞Beweis: Wir überlassen es dem Leser nachzuweisen, daß aus (4.2) die VerteilungsidentitätY nd= Ŷ ndef=n∑ζ k∑k=1 j=1Z k−1 (k, j), n ≥ 1, (4.5)folgt, wobei die (Z n (k, j)) n≥0 , k, j ≥ 1, u.i.v. GWP mit einem Urahnen und Reproduktionsverteilung(p j ) j≥0 bilden und auch unabhängig von (ζ n ) n≥1 sind (☞ Übung 4.2). Im Unterschiedzu Y n hat Ŷndefnichtnegative Zuwächse Λ k = ∑ ζ kj=1Z k−1 (k, j) und konvergiert folglichf.s. gegendef= ∑ Λ k .k≥1Ŷ ∞Da die Λ k offenbar stochastisch unabhängig sind, erhalten wir mit dem Lemma von Borel-Cantelli unter Beachtung von P(Λ k ∈ N 0 )=1für jedes k die Implikationen∑{ { < ∞=0P(Λ k ≥ 1)= ∞ ⇒ P(Λ k ≥ 1 u.o.)=1k≥1{ =1⇒ P(Ŷ∞ < ∞)=0