3. Kapitel

7. Und schließlich kritische GWP 135und via Lemma 7.1P(A n ) =n∏P(A n,j ) =j=1n∏j=1P(Z n−j+1 > 0)P(Z n−j > 0)= P(Z n > 0)P(Z 0 > 0)= P(Z n > 0). (7.4)Die für k ≥ 1gültige RechnungP({Ẑn = k}∩A n ) = P(Ẑn = k, V n = min ĜW n )∑ ( )=̂Q ∗ [τ; min τn ] n=τ∈T n :z n (τ)=k∑τ∈T n :z n (τ)=kQ ( [τ] n)= P(Z n = k),in die für die vorletzte Gleichheit einmal mehr das Vergleichslemma 3.7 eingeflossen ist, impliziertsomit die angekündigte VerteilungsidentitätP(Ẑn ∈·|A n ) = P(Z n ∈·|Z n > 0) = P n . (7.5)Damit können wir uns der Konstruktion der Zufallsgrößen Rn ∗ mit Verteilung P n in Angriffnehmen: Bei festem n ≥ 1 seien hierzu R n,1, ′ ..., R n,n ′ stochastisch unabhängige Zufallsgrößenauf (Ω, A, P) mitP(R ′ n,j ∈·) = P(R n,j ∈·|A n,j ) = P(S n,j ∈·|A n,j ) (7.6)für 1 ≤ j ≤ n, wobei auf P(A n,j )=γ n−j > 0 hingewiesen sei. Der Vektor (R n,1, ′ ..., R n,n) ′ seiaußerdem unabhängig von (R n,1 ,S n,1 ), ..., (R n,n ,S n,n ). Definieren wir nunR ∗ n,jdef= R n,j 1 An,j + R ′ n,j1 Acn,j(7.7)sowieR ∗ ndef= 1+n∑Rn,j, ∗ (7.8)j=1so sind vermöge Lemma 7.1 auch die Zufallsgrößen Rn,1, ∗ ..., Rn,n ∗ stochastisch unabhängig, undes gilt für k ≥ 1 und j ≤ n aufgrund der getroffenen UnabhängigskeitsannahmenP(R ∗ n,j = k) = P({R n,j = k}∩A n,j ) + P({R ′ n,j = k}∩A c n,j)= P({S n,j = k}∩A n,j ) + P(R n,j ′ = k) P(A c n,j)= P(S n,j = k|A n,j ) ( P(A n,j )+P(A c n,j) )= P(S n,j = k|A n,j )