3. Kapitel

102 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWPfür n ≥ 0.2.1. Lemma. Für die zuvor definierten Abbildungen gilt:(a) GW :Ω→ T ist A-B(T)-meßbar und folglich ein Zufallselement auf (Ω, A, P).(b) Für jedes n ≥ 0 ist z n : T → N 0 B(T)-meßbar und somit Z n = z n ◦ GW eine Zufallgrößeauf (Ω, A, P).aberBeweis: Es ist lediglich GW −1 (E) ⊂ A zu zeigen. Für A =[τ] k , τ ∈ T und k ≥ 1, gilt(b) Hier ergibt sich für k ≥ 1GW −1 (A) = {ω ∈ Ω:GW |k (ω) =τ |k }k⋂= {ω ∈ Ω:GW j (ω) =τ j }j=1∈ σ ( {X v : |v| ≤k − 1} ) ⊂ A.z −1n ({k}) = {τ ∈ T : z n (τ) =k} =⋃τ∈T n :τ n =k[τ] n∈ B(T)weil die auftretende Vereinigung abzählbar ist. Dies zeigt die Meßbarkeit von z n .♦Nach diesen Vorbereitungen ist folgende Definition sinnvoll:2.2. Definition. Wir setzen Q def= P(GW ∈·) und bezeichnen dieses Bildmaß als dasGalton-Watson-Maß auf (T, B(T)).Es gilt nun für alle n ≥ 0sowie allgemeinerP(Z n ∈·) = P(z n ◦ GW ∈·) = Q(z n ∈·) (2.3)P((Z n ) n≥0 ∈·) = P((z n ◦ GW ) n≥0 ∈·) = Q((z n ) n≥0 ∈·). (2.4)Die letzte Beziehung zeigt, daß wir einen GWP nunmehr auch als stochastische Folge auf demW-Raum (T, B(T), Q) realisieren können.Als nächstes wollen wir das intuitiv auf der Hand liegende Resultat präzisieren und beweisen,daß Individuen derselben Generation einer Galton-Watson-Population vermöge ihresunabhängigen und identischen Reproduktionsverhaltens Teilbäume erzeugen, die unabhängigund wiederum nach Q verteilt sind. Hierfür bedarf es aber zunächst einiger weiterer Definitionen:Gegeben τ ∈ T und u ∈ τ, heißtτ udef= {v ∈ τ : v ≽ u}