3. Kapitel

Anhang: Der Variationsabstand 143mit Verteilung Exp(1/ν). Zeigen Sie ∆ nSie (a).](c) Im Fall F = δ 1 definiertP→ 0 durch Berechnung von Var∆n und benutzenW ndef=∑L(v)X v =∑L(v)v∈V 2,∞ ,|v|=nv∈V 2,∞ ,|v|=nein Martingal und konvergiert f.s. gegen ein W d = Exp(1).Übung 7.4. Gegeben sei die Situation von Lemma 7.7, jedoch mit zwei unabhängigenR(0, 1)-verteilten Zufallsgrößen U 1 ,U 2 , die auch von X, X 1 ,X 2 unabhängig sind. Zeigen Siedie Äquivalenz von X d = Γ(2, 1/ν),undX d = U 1 X 1 + U 2 X 2 .Anhang: Der VariationsabstandIm folgenden geben wir eine kurze Zusammenstellung der wichtigsten Fakten über denVariationsabstand. Beginnen wir mit der Definition:A.1. Definition.(X, A). Dann definiertSei P = P(X, A) die Menge der W-Maße auf einem meßbaren Raumd V (P, Q) def= sup |P (A) − Q(A)|, P,Q ∈ P (A.1)A∈Aeine Metrik auf P, genannt Variations- oder Supremumsabstand. Anstelle von d V (P, Q) schreibenwir auch ‖P −Q‖. Konvergenz bezüglich d V wird als Konvergenz in Totalvariation bezeichnet.Die Schreibweise ‖P − Q‖ deutet darauf hin, daß d Vder Tat bildet‖Λ‖ def= sup |Λ(A)|A∈Adurch eine Norm induziert wird. Ineine Norm auf dem Vektorraum der endlichen signierten Maße auf (X, A), gegeben durchS = S(X, A) def= {Λ =λP − µQ : λ, µ ∈ [0, ∞),P,Q∈ P}.Dies spielt für unsere Zwecke aber keine weitere Rolle.Das anschließende Lemma zeigt, daß das Supremum in (A.1) stets angenommen wird.