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114 <strong>Kapitel</strong> III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWP(d) ∑ n≥1c n e X n= ∞ f.s. für alle c ∈ (0, 1), falls EX 0 = ∞.Beweis: Eine Anwendung von Ungleichung (A.12) auf S. 115 in [1] liefert∑n≥1( )XnPn >ε= ∑ ( )X0Pε >n n≥1≤ EX 0ε≤ ∑ n≥0P(X0ε >ε )= ∑ ( )XnPn >ε n≥0für alle ε>0. Das Lemma von Borel-Cantelli impliziert daher P( X nn>εu.o.) = 0 bzw. = 1für alle ε>0, falls EX 0 < ∞ bzw. = ∞ gilt. Es folgen die Teile (a) und (b).(c) Seien EX 0 < ∞, c ∈ (0, 1), 0
4. Zum Grenzverhalten nichtkritischer GWPI: Ein probabilistischer Zugang 115für alle n ≥ 0. Daraufhin führt uns eine Kopie des Beweises der Überquerungs-Uungleichung21.1 in [2] für beliebige b>azu der Ungleichung(b − a) E(U n (a, b)|F 0 ) ≤ E((M n − a) + |F 0 ) − E((M 0 − a) + |F 0 ) P-f.s., (4.3)wobei U n (a, b) die Anzahl der aufsteigenden Überquerungen des Intervalls (a, b) vonM biszum Zeitpunkt n angibt. Setzen wir U ∞ (a, b) def= lim n→∞ U n (a, b), so ergibt sich vermögesup n≥0 E(U n (a, b)|F 0 )=E(U ∞ (a, b)|F 0 ) f.s., der Abschätzung (4.3) sowie Bedingung (2) desLemmas(b − a)E(U ∞ (a, b)|F 0 ) ≤ sup E((M n − a) + |F 0 ) ≤ |a| + sup E(M n |G 0 ) < ∞n≥0n≥0P-f.s.und somit U ∞ (a, b) < ∞ f.s. Wie im Beweis des Martingal-Konvergenzsatzes (☞ Satz 21.2 in[2]) gelangt man schließlich zu der Schlußfolgerung()P lim inf M n < lim sup M n = 0,n→∞n→∞also zur f.s. Konvergenz von M n gegen ein M ∞ mitE(M ∞ |F 0 ) ≤ sup E(M n |G 0 )n≥0P-f.s.unter Hinweis auf das Lemma für Fatou für bedingte Erwartungen.endliche Zufallsgröße gewählt werden.Folglich kann M ∞ als♦Unser angestrebtes Resultat in diesem Unterabschnitt lautet nun (vgl. Satz II.4.1):4.5. Satz (Seneta). Sei (Y n ) n≥0 ein superkritischer GWPI mit endlichem Reproduktionsmittelµ und Immigrationsfolge (ζ n ) n≥1 . Dann gilt:(a) Ist E log + ζ 1 < ∞, sokonvergiert µ −n Y n f.s. gegen eine endliche Zufallsgröße Y ∞ .(b) Ist dagegen E log + ζ 0 = ∞, sogiltfür jedes c ∈ (0, ∞).lim supn→∞Y nc n = ∞ P-f.s.Beweis: (a) Setzen wir F 0def= σ ( (ζ n ) n≥1),soergibt sich vermöge (4.1)E(Y n |F 0 ) = ζ n + ∑ k≥0E(1 {Yn−1 =k}j=1= ζ n + ∑ k≥1kµ P(Y n−1 = k|F 0 )= ζ n + µ E(Y n−1 |F 0 ) P-f.s.,∣ )k∑ ∣∣∣ξ nj F 0
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Seite 3 und 4: 1. Bäume 991.2. Lemma. (a) Die Abb
Seite 5 und 6: 2. Der Galton-Watson-Baum: Formalit
Seite 9 und 10: 3. Größenverzerrte Galton-Watson-
Seite 11 und 12: 3. Größenverzerrte Galton-Watson-
Seite 13 und 14: (c) Für alle τ ∈ T und n ≥ 0
Seite 15 und 16: 4. Zum Grenzverhalten nichtkritisch
Seite 17: 4. Zum Grenzverhalten nichtkritisch
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Seite 28: 124 Kapitel III. Größenverzerrung
Seite 50: 146 Kapitel III. Größenverzerrung

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