3. Kapitel

5. Superkritische GWP: Nochmals der Satz von Kesten, Stigum 121Dieselbe Argumentation wie oben liefert U n → U = dPdνund V n → V = dQdνVerbindung mit (5.2) außerdem ν(U = V =0)=0zeigt. Deshalb ist U Vund es folgt unter Hinweis auf Korollar 13.5 in [1]ν-f.s., was inν-f.s. wohldefiniert,UV = lim U n dP n /dν n dP n= lim= lim = limn→∞ V n n→∞ dQ n /dν n n→∞ dQ X n = X ν-f.s.,n n→∞insbesondere {V =0} = {X = ∞} ν-f.s. Schließlich erhalten wirP(A) =∫AUdν ===∫∫∫A∩{V>0}AAXV dν +Udν +∫∫A∩{V =0}A∩{X=∞}UdνXdQ + P(A ∩{X = ∞}),Udνalso (5.1).♦Hier ist noch einmal der aus I.6 bekannte Satz von Kesten, Stigum in der auf dieäquivalenten Kernaussagen reduzierten Form (vgl. Satz I.6.2):5.2. Satz (Kesten, Stigum). Es seien (Z n ) n≥0 ein superkritischer GWP mit einemdefUrahnen, endlichem Reproduktionsmittel µ ∈ (1, ∞), Aussterbewahrscheinlichkeit q und W n =µ −n Z n für n ≥ 0. Für W def= lim n→∞ W n sind dann folgende Aussagen äquivalent:P(W =0)=q, (5.3)EW =1, (5.4)EZ 1 log Z 1 = ∑ k≥1p k k log k < ∞. (ZlogZ)defdefBeweis: Für n ≥ 0 setzen wir E n = {∅, T} ∪{[τ] n : τ ∈ T} und A n = σ(E n ). ZumBeweis des Satzes wenden wir Lemma 5.1 auf X = T, A = B(T), P = ̂Q und Q an. Wirweisen darauf hin, daß offenbar E = ⋃ n≥0 E n für E gemäß (1.2) gilt und somit die im Lemmageforderte Eigenschaft A = σ ( ⋃ n≥0 A n)= σ(E) gemäß (1.3) wirklich erfüllt ist.Betrachten wir nun für n ≥ 1 das durchΓ n (B) def=definierte W-Maß auf (T, B(T)), das wegenΓ n (T) =∫T∫Bw n (τ) Q(dτ),B ∈ B(T)w n (τ) Q(dτ) = E(w n ◦ GW ) = EW n = 1