3. Kapitel

7. Und schließlich kritische GWP 137merkung 7.2(b)) und konvergiert folglich ebenfalls gegen 0. Damit erhalten wirERn∗∣ n− σ22 ∣ ≤ |ER∗ n − ER n |+ER nn ∣ n− σ22 ∣1= o(1) +∣n + 1 n∑ER n,j − σ2n2 ∣ = o(1).j=1} {{ }=σ 2 /2Daraus folgt schließlich vermöge (7.9)1n P(Z n > 0) = E(Z n|Z n > 0)n= ER∗ nn→ σ22 , n →∞.Für den noch unerledigten Fall σ 2 = ∞ notieren wir unter Hinweis auf (7.7) und (7.8)R ∗ n≥n∑R n,j 1 An,jj=1und folgern1n P(Z n > 0) = ER∗ nn≥1 n∑ER n,j 1 An,j = 1 n−1∑nnj=1j=0α j→ σ22= ∞, n →∞,denn der Satz von Césaro bleibt richtig, wenn das Césaro-Mittel über eine Folge mit Limes ∞(hier (α j ) j≥0 ) gebildet wird.♦7.4. Bemerkung. Die im obigen Beweis als (ii) formulierte und mit (7.10) bewieseneAussage im Fall σ 2 < ∞ besagt gerade die L 1 -Konvergenz von n −1 (R n − Rn) ∗ gegen 0, wasinsbesondereR nn − R∗ n P→ 0, n →∞ngarantiert. Diese Tatsache werden wir im Beweis von Satz 7.8 verwenden, denn mit dem Satzvon Slutsky (☞ Satz 36.12 in [1]) garantiert sie uns, daß die Verteilungskonvergenz von R n /nund die von Rn/n ∗ äquivalente Bedingungen sind (bei notwendig gleichen Grenzverteilungen).Wir kommen nun zur Konvergenz der bedingten Verteilung von Z n /n gegeben Z n > 0gegen eine Exponentialverteilung mit Parameter 2/σ 2 (die dritte Aussage in Satz I.9.1). Diedrei nachfolgenden Lemmata bilden die notwendige Vorarbeit, wobei das erste Lemma dieVerträglichkeit von Verteilungskonvergenz und Größenverzerrung beleuchtet. Den einfachenBeweis überlassen wir dem Leser zur Übung (☞ Übung 7.2).7.5. Lemma. Es sei (X n ) n≥0 eine Folge nichtnegativer Zufallsgrößen mit endlichen,positiven Erwartungswerten sowie ( ̂X n ) n≥0 eine Folge assoziierter Größenverzerrungen. Es gelteX n → X0 . Dann folgt aus der Verteilungskonvergenz der ̂X n bereits ̂Xd dn → ̂X0 .