3. Kapitel

100 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWP(c) Es seien τ,τ ′ ∈ T und j ≥ k ≥ 1. Dann gilt[τ] j ∩ [τ ′ ] k = {χ ∈ T : χ |j = τ |j ,χ |k = τ ′ |k } = { [τ]j , falls τ |k = τ ′ |k ,∅, falls τ |k ≠ τ ′ |k . (1.1)Folglich bildetE def= { ∅, T } ∪ { [τ] k : τ ∈ T,k ≥ 1 } (1.2)ein ∩-stabiles System von Teilmengen von T.Wir definieren nunund notieren:B(T) def= σ(E) = σ( {[τ]k: τ ∈ T,k ≥ 1 }) (1.3)1.4. Lemma. Die gemäß (1.3) definierte σ-Algebra B(T) über T entspricht der Borelschenσ-Algebra, also der von den (bzgl. der Metrik d) offenen Teilmengen erzeugten σ-Algebra.Beweis: Es genügt der Hinweis, daß sich jede nichtleere offene Teilmenge eines separablenRaums als abzählbare Vereinigung von ε-Kugeln schreiben läßt.♦Zum Ende dieses Abschnitts wollen wir noch kurz eine Ordnung auf V einführen, welchedie Verwandtschaftsstruktur der als Individuen interpretierten Elemente von V widerspiegelt.1.5. Definition. Es seien v = v 1 ...v m und w = w 1 ...w n Elemente von V.(a) Besitzt w die Darstellung vu für ein u ∈ V, soheißt v Vorfahre von w sowie umgekehrt wein Nachkomme oder Nachfahre von v, symbolisch durch v ≼ w bzw. w ≽ v ausgedrückt.(b) Gilt in (a) speziell u ∈ N, soheißt v Mutter von w sowie umgekehrt w Kind von v.(c) Falls φ(v, w) def= inf{k ≥ 1:v k ≠ w k },soheißtv ∧ w def= v 1 ...v φ(u,v)−1der erste gemeinsame Vorfahre von v und w.(d) Wir definieren im Fall v ≠ wv