3. Kapitel

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108 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWPund damit die behauptete Meßbarkeit von ĜW .Zum Nachweis von (ii) gehen wir ähnlich vor: Seien v = v 1 v 2 ... ∈ N ∞ , v 0 def= ∅, v n def=v 1 ...v n für n ≥ 1 und 0
(c) Für alle τ ∈ T und n ≥ 0 gilt3. Größenverzerrte Galton-Watson-Bäume mit Rückgrat 109̂Q ( [τ] n)= wn (τ)Q ( [τ] n). (3.9)(d) Sei Ẑnfür alle k ≥ 0.def= z n ◦ ĜW für n ≥ 0. Dann ist Ẑn eine Größenverzerrung von Z n , d.h. es giltP(Ẑn = k) = k P(Z n = k)µ n = k P(Z n = k)EZ n(3.10)Beweis: (a) Sei τ ∈ T, n ≥ 0 und k = z 1 (τ). O.E. werde k ≥ 1 und p k > 0vorausgesetzt,denn im Fall k =0ist (3.7) wegen [τ] n+1 = { {∅} } ebenso wie im Fall p k =0trivial. Danngilt unter Verwendung von Satz 2.3Q ( ) ([τ] n+1 = P Z1 = k, Θ i GW i ∈ [Θ i τ i ] n , 1 ≤ i ≤ k )= p k P ( Θ i GW i ∈ [Θ i τ i ] n , 1 ≤ i ≤ k ∣ Z1 = k )∏k= p k Q ( [Θ i τ i )] ni=1und somit das Gewünschte.(b) Hier zeigen wir die Behauptung per Induktion über n. Falls n =0,erhalten wir wegenV 0 = ϱ = ∅, [τ; ∅] 0 = {(τ ′ , (v j ) j≥0 ):τ ∈ T,v j ∈ τ j f.a. j ≥ 0} und [τ] 0 = T für alle τ ∈ Toffenkundig( ) ( ) ( )̂Q ∗ [τ; ϱ]0 = ̂Q∗ [τ; ∅]0 = 1 = Q [τ]0für alle τ ∈ T.Für den Induktionsschritt nehmen wir an, die Behauptung sei bewiesen für ein n ≥ 0, alleτ ′ ∈ T und ϱ ′ ∈ τ n. ′ Wir benötigen zunächst die folgende Zwischenrechnung: Gegeben τ ∈ Tmit z 1 (τ) =k ≥ 1 und ϱ ∈ τ n+1 , existiert offenkundig ein eindeutiges i ∈{1, ..., k} derart, daßϱ ∈ τ i . Daher gilt mit A def= {Θ j ĜW j ∈ [Θ j τ j ] n , 1 ≤ j ≤ k, j ≠ i}{(ĜW,V)∈ [τ; ϱ]n+1}={ ̂X0 = k, C 0 = i, (Θ i ĜW i , Θ i V ) ∈ [Θ i τ i ;Θ i ϱ] n}∩ A.Sofern p k > 0, was P( ̂X 0 = k, C 0 = i) =µ −1 kp k k −1 = µ −1 p k > 0 impliziert, ergibt sich unterVerwendung von Satz 3.6( ) ((ĜW ) )̂Q ∗ [τ; ϱ]n+1 = P ,V ∈ [τ; ϱ]n+1= µ −1 p k P ({ (Θ i ĜW i , Θ i V ) ∈ [Θ i τ i } ∣;Θ i ϱ] n ∩ A ̂X0 = k, C 0 = i )= µ −1 (p k ̂Q∗ [Θi τ i ) ∏;Θ i ϱ] n Q ( [Θ j τ j )] n .j≠i
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Seite 5 und 6: 2. Der Galton-Watson-Baum: Formalit
Seite 9 und 10: 3. Größenverzerrte Galton-Watson-
Seite 11: 3. Größenverzerrte Galton-Watson-
Seite 15 und 16: 4. Zum Grenzverhalten nichtkritisch
Seite 17 und 18: 4. Zum Grenzverhalten nichtkritisch
Seite 19: 4. Zum Grenzverhalten nichtkritisch
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Seite 28: 124 Kapitel III. Größenverzerrung
Seite 50: 146 Kapitel III. Größenverzerrung

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