3. Kapitel

112 Kapitel III. Größenverzerrung und Bäume mit Rückgrat: Ein probab. Zugang zu GWPmit unabhängigen, jeweils gemäß (p j ) j≥0 verteilten Zufallsgrößen ξ nk ,welche die Anzahl derNachkommen der Individuen angeben. Wir sprechen im folgenden dann auch von einem GWPI(Y n ) n≥0 mit Immigrationsfolge (ζ n ) n≥1 . Eine alternative Darstellung lautet (vgl. (II.1.1))Y n =n∑ζ k∑k=1 j=1Z n−k (k, j), n ≥ 1, (4.2)in der die (Z n (k, j)) n≥0 , k, j ≥ 1, u.i.v. GWP mit einem Urahnen und Reproduktionsverteilung(p j ) j≥0 bilden und auch unabhängig von (ζ n ) n≥1 sind. Wir interpretieren hierbei (Z n (k, j)) n≥0als den vom j-ten Immigranten der k-ten Generation initiierten Prozeß.1. Verbindung zwischen GWPI und größenverzerrten GWB. Wir wollen nunzeigen, daß in einem größenverzerrten GWB mit Rückgrat die Nachkommen der Individuendes Rückgrats als Immigranten aufgefaßt werden können und so eine Verbindung zu GWPIentsteht. Die präzise Formulierung dieser Aussage gibt der folgende Satz, wobei wieder dieBezeichnungen aus Unterabschnitt 3.2 gelten:def4.1. Satz. Es sei (Y n ) n≥0 ein GWPI mit Immigrationsfolge ζ n = ̂X n − 1 für n ≥ 1.Dann giltP ( (Y n ) n≥0 ∈·) = ̂Q ( (z n − 1) n≥0 ∈ ) = P ( (Ẑn − 1) n≥0 ∈·)Beweis: Offenbar gilt ̂Q(z 0 − 1 ∈·)=δ 0 = P(Y 0 ∈·). Für n ≥ 0 und (k 1 , ..., k n+1 ) ∈N n+1 ergibt sich unter Beachtung der Unabhängigkeit von ζ n+1 , (ξ n+1,j ) j≥1 und (Y 1 , ..., Y n )P(Y 1 = k 1 , ..., Y n = k n ,Y n+1 = k n+1 )(= P Y 1 = k 1 , ..., Y n = k n ,ζ n+1 +k n∑j=1(= P(Y 1 = k 1 , ..., Y n = k n ) P ζ n+1 +k∑n+1= P(Y 1 = k 1 , ..., Y n = k n )l=0k∑n+1= P(Y 1 = k 1 , ..., Y n = k n )l=0ξ n+1,j = k n+1)k n∑j=1(P ̂X n+1 = l +1,(l +1)p l+1µξ n+1,j = k n+1)k n∑j=1p ∗(k n)k n+1 −lξ n+1,j = k n+1 − lsowie andererseits mit Π(k 1 , ..., k n ) def= {τ ∈ T n : z j (τ) − 1=k j , 1 ≤ j ≤ n}̂Q(z 1 − 1=k 1 , ..., z n − 1=k n ,z n+1 − 1=k n+1 )(∑ ∑=ĜW ∈ [τ] n ,V n = ϱ, ̂X n+1 +Pτ∈Π(k 1 ,...,k n ) ϱ∈τ n∑v∈τ n \{ϱ})X v = k n+1 +1)