3. Kapitel

6. Zum Grenzverhalten subkritischer GWP 123was uns mittels (5.5) schließlich zu∫1 = wdQ =T∫Ωw ◦ GW dP = EWund somit (5.4) bringt.”(5.4) ⇒ (5.3)” Im Fall EW = 1 folgt notwendigerweise P(W = 0) < 1, also unterRückgriff auf Lemma I.5.2 wie behauptet P(W =0)=q.”(5.3) ⇒ (ZlogZ)” Dies zeigen wir durch Kontraposition, nehmen also EZ 1 log + Z 1 = ∞an. Eine analoge Argumentation wie im Beweisteil ”(ZlogZ) ⇒ (5.4)” liefert dann unter Benutzungder Sätze 4.1 und 4.5()̂Q(w = ∞) = P lim sup µ −n Y n = ∞ = 1,n→∞also unter Berücksichtigung von (5.6) die gewünschte Aussage Q(w =0)=1.♦Übungen zu Abschnitt 5Übung 5.1. Beweisen Sie die Teile (b) und (c) von Lemma 5.1 [natürlich unter Benutzungvon Teil (a)].6. Zum Grenzverhalten subkritischer GWPIm subkritischen Fall (µ 0) ≤ EZ n = µ n → 0, n →∞einen ersten Anhaltspunkt für die Konvergenzgeschwindigkeit der ÜberlebenswahrscheinlichkeitP(Z n > 0) gegen 0. Wie schon in I.8, aber mit anderen Methoden, gehen wir nun der Fragenach, unter welchen Bedingungen µ n die richtige Konvergenzrate von P(Z n > 0) bildet. Dieslegt nahe, die Folgendef= µ −n P(Z n > 0), n ≥ 0c nundµ + defn = E(Z n |Z n > 0) = c −1n , n ≥ 0zu untersuchen. Die bereits bekannte Antwort, Inhalt des Satzes I.8.1 (von Kolmogorov), gebenwir in Satz 6.2 nach dem folgenden einfachen Lemma über größenverzerrte Verteilungen.6.1. Lemma. Sei (X n ) n≥0 eine Folge von integrierbaren N-wertigen Zufallsgrößen und( ̂Xdefn ) n≥0 eine assoziierte Folge von Größenverzerrungen. Dann gilt mit P n = P(X n ∈·), folglicĥP n = P( ̂X n ∈·):(a) Ist die Folge (̂P n ) n≥0 straff, folgt sup n≥0 EX n < ∞.