3. Kapitel

7. Und schließlich kritische GWP 141so daß Ẑn/n eine Größenverzerrung von Rn/n ∗ bildet. Dies liefert für t > 0 und n ≥ 1insbesondereE ( 1 {R ∗ n/n>t}Rn/n ∗ ) ≤ κ P(Ẑn/n > t),also im Hinblick auf die Straffheit von (P(Ẑn/n ∈·)) n≥1 die gleichgradige Integrierbarkeit derFolge (Rn ∗ k/n k ) k≥1 ,welche vermöge Satz 50.5 in [1]ES =ERn ∗ limkk→∞ n k= σ22∈ (0, ∞) (7.18)impliziert. Eine Anwendung von Lemma 7.5 (mit X 0 = S, X k = Rn ∗ k/n k und ̂X k = Ẑn k/n kfür k ≥ 1) liefert nun T = d Ŝ für jede auf (Ω, A, P) definierte Größenverzerrung Ŝ von S undsomitdẐ nk /n k → Ŝ, k →∞.Bezeichnet im folgenden U eine von Ŝ und (Ẑn) n≥1 unabhängige, R(0, 1)-verteilte Zufallsgröße,so folgt unter Hinweis auf Satz 36.11 in [1]dUẐn k/n k → U Ŝ, k →∞.Wegendef0 ≤ ∆ n = ⌈UẐn⌉ − UẐn ≤ 1 n n nzeigt Satz 36.12 in [1] in Verbindung mit Lemma 7.6→ n, n →∞R nkn kd=⌈UẐn k⌉n k= UẐn kn k+∆ nkd→ U Ŝ, k →∞.Folglich sind im Hinblick auf die erste Aussage in (7.17) die Zufallsgrößen S und UŜ identischverteilt, was S = d Exp(2/σ 2 )vermöge Lemma 7.7 (und ES = σ 2 /2 gemäß (7.18)) beweist.Ist nun (n ′ k ) k≥1 irgendeine andere aufsteigende Teilfolge derart, daß Rn ∗ k/n ′ ′ kin Verteilungkonvergiert und o.E. gleiches auch für R n′ /n′ k k und Ẑn ′ /n′ k k gilt (sonst dünne (n′ k ) k≥1 nochmalsgeeignet aus), so liefert dieselbe Argumentation wie zuvor, daß auch Rn ∗ k/n ′ ′ kdie GrenzverteilungExp(2/σ 2 )besitzt. Jede verteilungskonvergente Teilfolge von (Rn/n) ∗ n≥1 hat demnach denselbenLimes, was gemäß Korollar 44.4 in [1] schließlichRn/n ∗ → d Exp(2/σ 2 ), n →∞und so die Behauptung impliziert.♦7.9. Bemerkung. Zur probabilistischen Interpretation des obigen Beweises läßt sichfolgendes anmerken: Die mit S bezeichnete Grenzvariable genügt gemäß Lemma 7.7 der VerteilungsidentitätS = d UŜ = d U(S 1 + S 2 ),