3. Kapitel

5. Superkritische GWP: Nochmals der Satz von Kesten, Stigum 119für P((ζ k ) k≥1 ∈·)-fast alle (y k ) k≥1 , also∑ζ k P(Z k−1 (1, 1) ≥ 1) < ∞k≥1P-f.s.schließen können. Beachten wir für k ≥ 1noch die einfache Ungleichung e log+ ζ kP(Z k−1 (1, 1) ≥ 1) ≤ (1 − p 0 ) k−1 ,soergibt sich wegen 0 t) =n→∞limn→∞ P(Ŷn >t) = P(Ŷ∞ >t) = 1für alle t>0.♦Übungen zu Abschnitt 4Übung 4.1. Führen Sie die Details im Beweis von Lemma 4.3 (Erweiterung des Martingal-Konvergenzsatzes)genauer aus.Übung 4.2.Geben Sie einen Beweis von (4.5) (etwa mithilfe e.F.)5. Superkritische GWP: Nochmals der Satz von Kesten, StigumEndlich sind wir in der Lage, ein erstes klassisches Resultat für GWP, nämlich den Satzvon Kesten, Stigum, mittels der zuvor entwickelten Theorie für GWB und ihre Größenverzerrungauf alternative Weise zu beweisen. Wie schon zu Beginn des Kapitels bemerkt, stammt dievorgestellte Methode von Lyons, Peres und Pemantle [5], und stützt sich im wesentlichen auf dasVergleichslemma 3.7, die Sätze 4.1 und 4.5 sowie das nachfolgende, sehr allgemein formulierteLemma über den Zusammenhang von zwei W-Maßen auf einem filtrierten W-Raum:5.1. Lemma. Es seien P, Q W-Maße auf einem meßbaren Raum (X, A) sowie (A n ) n≥0eine Filtration über X mit σ( ⋃ n≥0 A defdefn)=A. Für P n = P |An , Q n = Q |An gelte P n