3. Kapitel

7. Und schließlich kritische GWP 131für (j, n) ∈ N 2 ≤ ,sohält das folgende Lemma weitere wichtige Eigenschaften der zuvor eingeführtenZufallsgrößen fest.7.1. Lemma. Sei (Z n ) n≥0 ein kritischer GWP mit Reproduktionsvarianz σ 2 > 0. Danngilt in den zuvor eingeführten Bezeichnungen:(a) Für jedes n ≥ 1 sind die Zufallsvektoren (R n,1 ,S n,1 ), ..., (R n,n ,S n,n ) und damit ebenso dieEreignisse A n,1 , ..., A n,n stochastisch unabhängig.(b) Für jedes (j, n) ∈ N 2 ≤ ist ER n,j = σ 2 /2.(c) Für jedes (j, n) ∈ N 2 ≤ ist P(A n,j) = P(Z n−j+1>0)P(Z n−j >0)und konvergiert gegen 1, falls n−j →∞.(d) Für jedes j ≥ 1 giltund im Fall σ 2 < ∞ außerdemlim ER n,j1 An,j = σ2n→∞ 2lim ER n,j1 Acn→∞ n,j= 0.Beweis: (a) Für 1 ≤ j ≤ n seien (r j ,s j ) ∈ N 2 ≤ ,undM jN jdef= {ϱ ∈ ĜW j : ϱ ≽ V j−1 ,ϱV j }.Folglich enthält M j bzw. N j alle Kinder des Rückgratknotens V j−1 , die kleiner bzw. größerals V j sind, sich also links bzw. rechts von V j in ĜW befinden.defAuf dem Ereignis D n = ⋂ n−1i=0 { ̂X i = k i ,C i = v i } gilt einerseitsV j = v 0 ...v j−1 ∈ N j ,andererseits sind im Fall P(D n )= ∏ n−1i=0 p k i> 0 die ZufallsgrößenẐ n−j (v),1 ≤ j ≤ n, v ∈ M j ∪ N jdefbedingt unter D n stochastisch unabhängig und für festes j identisch nach Γ n−j = P(Z n−j ∈·)verteilt, wie sich aus der Konstruktion 3.3 größenverzerrter GWB in Analogie zu Satz 2.3ergibt. Da für jedes j offenbar{R n,j = r j ,S n,j = s j } ={ ∑v∈M jẐ n−j (v) =s j − r j , ∑v∈N jẐ n−j (v) =r j}