3. Kapitel

Benutzen sie anschließend (3.4) und Satz 50.2 in [1].]Übungen zu Abschnitt 6 129Übung 6.2. Sei X eine nichtnegative, integrierbare Zufallsgröße mit Verteilung P undQ def= P(X ∈·|X>0). Zeigen Sie, daß die zugehörigen Größenverzerrungen übereinstimmen,also ̂P = ̂Q gilt.Übung 6.3. Gegeben sei die Situation und Notation von Satz 6.2 und dessen Beweis.Sei ferner ˜Z 1 eine Zufallsgröße mit P( ˜Z 1 = i) =µ −1 P(Z 1 ≥ i) für i ∈ N. Zeigen Sie mittels(6.3), daß()c n − c n+1 = c n 1 − E(1 − µ n c )˜Z 1−1n ≤ µ n E( ˜Z 1 − 1) 2gilt (was insbesondere die Monotonie der c n zeigt) und folgern Sie daraus weiterc n = c + O(µ n ), n →∞,falls (Z n ) n≥0 endliche Reproduktionsvarianz besitzt.Übung 6.4. Gegeben sei die Situation und Notation von Satz 6.3 und dessen Beweis.Zeigen Sie:(a) Aus (ZlogZ) folgt α(k) ≃ log 1/µ k = log k/| log µ| für k →∞.(b) Für jedes p ≥ 1 gilt∑j log p jp j < ∞ ⇒ ∑ n p ‖P n − P n−1 ‖ < ∞ ⇒ limn→∞ np ‖P n − π‖ =0.j≥1 n≥1(c) Für jedes 1