3. Kapitel

==7. Und schließlich kritische GWP 1331P(Z n−j > 0)1P(Z n−j > 0)∑ (p k 1 − P(Zn−j =0) k)k≥1∑p k P(Z n−j+1 > 0|Z 1 = k)k≥1= P(Z n−j+1 > 0)P(Z n−j > 0) .Die Behauptung P(A n,j ) → 1, falls n − j →∞, ergibt sich wegen P(Z n−j =0)↑ 1 aufgrundmonotoner Konvergenz des dritten Ausdrucks der obigen Gleichungskette gegen ∑ k≥1 kp k =1.(d) Der besagte Erwartungswert besitzt gemäß (7.2) die DarstellungER n,j 1 An,j = ∑ r≥1r P(R n,j = r, R n,j = S n,j )k∑= ∑ r ∑r≥1 k≥1 m=1= ∑ k∑p k P(Z n−j =0) ∑ m−1 rΓ ∗(k−m)n−j ({r})k≥1 m=1 r≥1= ∑ k∑p k P(Z n−j =0) m−1 (k − m).k≥1 m=1p k Γ ∗(m−1)n−j({0})Γ ∗(k−m)n−j ({r})Eine erneute Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz in Verbindung mit derRechnung in Teil (b)limn→∞ ER n,j1 An,j= ∑ k≥1k∑m=1p k (k − m) = σ22 .Im Fall σ 2 < ∞ folgt nun mit (b) außerdem sofortER n,j 1 Acn,jwas den Beweis komplettiert.= σ22 − ER n,j1 An,j → 0, n →∞,♦7.2. Bemerkungen. (a) Ein ähnliches Vorgehen wie im Beweis von Lemma 7.1(b)liefert ES n,j = σ 2 , ein Ergebnis, das wir allerdings nicht benötigen und dehalb auch nichtherleiten, sondern dem Leser als Übung ans Herz legen (☞ Übung 7.1).(b) Der obige Beweis hat gezeigt, daß die Ausdrücke ER n,j 1 An,j , ER n,j 1 Acn,jund P(A n,j )von (j, n) nurüber n − j abhängen. Deshalb verwenden wir im folgenden die Schreibweisenα n−jdef= ER n,j 1 An,j , β n−jdef= ER n,j 1 Acn,jund γ n−jdef= P(A n,j ),und Lemma 7.1 sichert dannlimn→∞ α n = σ 2 /2, limn→∞ γ n = 1