3. Kapitel

Literaturangaben 145A.3. Lemma (Kopplungsungleichung). Zu W-Maßen P, Q ∈ P sei eine Kopplung(X, Y ) gegeben. Dann gilt die Kopplungsungleichung‖P − Q‖ ≤ P(X ≠ Y ).Beweis: Die Behauptung ergibt sich leicht vermöge|P (A) − Q(A)| = |P(X ∈ A) − P(Y ∈ A)|= |P(X ∈ A, X ≠ Y ) − P(Y ∈ A, X ≠ Y )|≤ P(X ≠ Y )für alle A ∈A.♦Als letztes notieren wir noch:A.4. Satz.Der Raum (P,d V ) ist vollständig.Beweis: Sei (P n ) n≥1 eine Cauchyfolge bezüglich d V . Sei weiter µ ein σ-endliches dominierendesMaß für diese Folge (z.B. µ = ∑ n≥1 2−n defP n ∈ P) und f n = dP ndµ. Vermöge (A.2)gilt dann‖P n − P m ‖ = 1 ∫|f n − f m | dµ = ‖f n − f m ‖ 12für alle m, n ≥ 1, wobei ‖·‖ 1 die übliche Norm auf L 1 (µ) bezeichnet. Da (L 1 (µ), ‖·‖ 1 ) (moduloGleichheit f.ü.) bekanntlich einen Banachraum bildet, folgt die Existenz eines f ∈ L 1 (µ) mit‖f n − f‖ 1 → 0 und ‖f‖ 1 =1. Mit P def= fµ ∈ P erhält man schließlich‖P n − P ‖ = 1 2 ‖f n − f‖ 1 → 0, n →∞und damit die Behauptung.♦Literatur[1] ALSMEYER, G. Wahrscheinlichkeitstheorie (5. Auflage). Skripten zur MathematischenStatistik, Nr. 30, Universität Münster (2007).[2] ALSMEYER, G. Stochastische Prozesse, Teil I (3. Auflage). Skripten zur MathematischenStatistik, Nr. 33, Universität Münster (2005).[3] GEIGER, J. Elementary new proofs of classical limit theorems for Galton-Watson processes.J. Appl. Probab. 36, 301-309 (1999).GEIGER, J. A new proof of Yaglom’s exponential limit law. Mathematics and computerscience (Versailles, 2000), 245-249, Trends Math., Birkhäuser, Basel (2000).KESTEN, H. und STIGUM, B. A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processes.Ann. Math. Stat. 37, 1211-1223 (1966).KESTEN, H., NEY, P. und SPITZER, F. The Galton-Watson process with mean one andfinite variance. Theory Probab. Appl. 11, 513-540 (1966).